A Discrete Blaschke Theorem for Convex Polygons in 2-Dimensional Space Forms

Автор(и)

  • Alexander Borisenko B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, 47 Nauky Ave., Kharkiv, 61103, Ukraine
    Department of Mathematics, University of Valencia, 46100-Burjassot (Valencia), Spain
  • Vicente Miquel Department of Mathematics, University of Valencia, 46100-Burjassot (Valencia), Spain

DOI:

https://doi.org/10.15407/mag20.02.195

Анотація

Нехай $M$ є 2-вимірною площиною постійної кривини, $P$ є опуклим багатокутником в $M$. Для цих багатокутників дано визначення кривини $\kappa _i$ в вершинах $A_i$ i доведена дискретна теорема Бляшке: “якщо $P$ є опуклий багатокутник в $M$ з кривинами вершин $\kappa _i\ge \kappa _0 >0$, то радіус $R$ кола, описаного навколо $P$, задовольняє нерівність $\textrm{ta}_\lambda(R) \le \pi/(2\kappa _0)$, i рівність виконується тоді і лише тоді, коли багатокутник є 2-покритим сегментом”.

Mathematical Subject Classification 2020:  52A10, 52A55, 51M10, 53C22

Ключові слова:

теорема Бляшке, кривина вершини, радiус описаного кола, опуклий багатокутник

Посилання

W. Blaschke, Kreis und Kugel. Chelsea Publishing Co., New York, 1949. x+169 pp. (Photo-offset reprint of the edition of 1916 [Veit, Leipzig]). https://doi.org/10.1515/9783112392348

A. A. Borisenko and K. D. Drach, Isoperimetric inequality for curves with curvature bounded below, Math. Notes 95 (2014), No. 5-6, 590--598. https://doi.org/10.1134/S0001434614050034

A. A. Borisenko, E. Gallego, and A. Reventós, Relation between area and volume for λ‎-convex sets in Hadamard manifolds, Differential Geom. Appl. 14 (2001), No.3, 267--280. https://doi.org/10.1016/S0926-2245(01)00045-6

A. A. Borisenko and V. Miquel, Comparison theorems on convex hypersurfaces in Hadamard manifolds, Ann. Global Anal. Geom. 21 (2002), No.2, 191--202.

V. Borrelli, F. Cazals, and Jean Marie Morvan; On the angular defect of triangulations and the pointwise approximation of curvatures, Computer Aided Geometric Design 20 (2003), 319--341. https://doi.org/10.1016/S0167-8396(03)00077-3

V. Borrelli and F. Orgeret, Error term in pontwise approximation of the curvature of a curve, Computer Aided Geometric Design 27 (2010) 538--550. https://doi.org/10.1016/j.cagd.2010.06.001

J. Brooks and J. B. Strantzen, Blaschke’‎s rolling theorem in $ℝ^n$, Mem. Amer. Math. Soc., 80, 1989. https://doi.org/10.1090/memo/0405

J. Cufí­, A. Reventós, and Carlos J. Rodríguez, Curvature for Polygons, Amer. Math. Monthly 122 (2015), 332--337. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.122.04.332

J. A. Delgado, Blaschke's theorem for convex hypersurfaces, J. Differential Geometry 14 (1979), No. 4, 489--496. https://doi.org/10.4310/jdg/1214435233

K. Drach, Inradius estimates for convex domains in 2-dimensional Alexandrov spaces, Anal. Geom. Metr. Spaces 6 (2018), No. 1, 165--173. https://doi.org/10.1515/agms-2018-0009

K. Drach Inradius estimates for convex domains in 2-dimensional Alexandrov spaces, Anal. Geom. Metr. Spaces 6 (2018), No.1, 165--173. https://doi.org/10.1515/agms-2018-0009

E. Gallego and A. Reventós, Asymptotic behaviour of λ‎-convex sets in the hyperbolic plane, Geom. Dedicata 76 (1999), No. 3, 275--289.

R. Howard, Blaschke Rolling theorems for manifolds with boundary, Manuscripta Math. 99 (1999), 471--483. https://doi.org/10.1007/s002290050186

H. Karcher, Umkreise und Inkreise konvexer Kurven in der sphärischen und der hyperbolischen Geometrie, Math. Ann. 177 (1968), 122--132. https://doi.org/10.1007/BF01350788

A. D. Milka, A certain theorem of Schur-Schmidt, Ukrain. Geometr. Sb. (1970), No.8, 95--102 (Russian).

O. R. Musin, Curvature extrema and four-vertex theorems for polygons and polyhedra, J. Math. Sci. (N.Y.) 119 (2004), 268--277. https://doi.org/10.1023/B:JOTH.0000008769.58818.6d

J. Rauch, An inclusion theorem for ovaloids with comparable second fundamental forms, J. Differential Geom. 9 (1974), 501--505. https://doi.org/10.4310/jdg/1214432545

K. Sakakibara and Y. Miyatake, A fully discrete curve-shortening polygonal evolution law for moving boundary problems, J. Comput. Phys. 424 (2021), 109857, 22pp. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2020.109857

Downloads

Як цитувати

(1)
Borisenko, A.; Miquel, V. A Discrete Blaschke Theorem for Convex Polygons in 2-Dimensional Space Forms. Журн. мат. фіз. анал. геом. 2024, 20, 195–204.

Номер

Розділ

Статті

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.