Sub-Linear Growth of a Special Class of $C_0$-Groups on Dense Subsets
Анотація
Ми розглядаємо спеціальний клас лінійно зростальних $C_0$-груп з \cite{SM1,SMP}, генератори яких є суттєво несамомпряженими необмеженими операторами. Точніше, ці генератори мають чисто точковий уявний спектр, що згущується в точці $i\infty$, та відповідну повну та мінімальну, але не рівномірно мінімальну, сім'ю власних векторів, яка не утворює базис Шаудера. Ми одержуємо точні двосторонні оцінки норм $C_0$-груп з цього класу на щільних підмножинах фазового простору, а саме, на $D(A^k)$ для будь-яких $k \in \mathbb{N}$, де $A$ є необмеженим генератором відповідної $C_0$-групи.
Тим самим ми доводимо, що ці $C_0$-групи мають сублінійне зростання на $D(A^k)$. Це означає сублінійне зростання класичних та всіх більш регулярних розв'язків задачі Коші для відповідних абстрактних лінійних еволюційних рівнянь.
Mathematical Subject Classification 2020: 47D06, 34G10, 46B45, 34K25
Ключові слова:
$C_0$-група, сублінійне зростання, суттєво несамоспряжений необмежений оператор, двосторонні оцінки, спектральна XYZ теорема, щільні підмножини, класичний розв'язокПосилання
W.O. Amrein, A. Boutet de Monvel, and V. Georgescu, $C_0$-Groups, Commutator Methods and Spectral Theory of $N$-Body Hamiltonians. Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, Basel, 1996. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0733-3
C.J.K. Batty, Asymptotic behaviour of semigroups of operators, Banach Center Publ. 30 (1994), 35--52. https://doi.org/10.4064/-30-1-35-52
C.J.K. Batty and T. Duyckaerts, Non-uniform stability for bounded semi-groups on Banach spaces, J. Evol. Equ. 8 (2008), 765--780. https://doi.org/10.1007/s00028-008-0424-1
A. Borichev and Y. Tomilov, Optimal polynomial decay of functions and operator semigroups, Math. Ann. 347 (2010), 455--478. https://doi.org/10.1007/s00208-009-0439-0
I.C. Gohberg and M.G. Krein, Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators, Translations of Mathematical Monographs, 18, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1969.
J.A. Goldstein and M. Wacker, The energy space and norm growth for abstract wave equations, Appl. Math. Lett. 16 (2003), 767--772. https://doi.org/10.1016/S0893-9659(03)00080-6
J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach Spaces, I, II, Reprint of the 1977, 1979 ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996. https://doi.org/10.1007/978-3-662-35347-9
M. Malejki, $C_0$-groups with polynomial growth, Semigroup Forum 63(3) (2001), 305--320. https://doi.org/10.1007/s002330010036
V. Marchenko, Isomorphic Schauder decompositions in certain Banach spaces, Open. Math. 12 (2014), 1714--1732. https://doi.org/10.2478/s11533-014-0441-y
V. Marchenko, Stability of Riesz bases, Proc. Amer. Math. Soc. 146 (2018), 3345--3351. https://doi.org/10.1090/proc/14056
V. Marchenko, Stability of unconditional Schauder decompositions in $ell_p$ spaces, Bull. Aust. Math. Soc. 92 (2015), 444--456. https://doi.org/10.1017/S0004972715000775
V. Phong, Semigroups with nonquasianalytic growth, Studia Math. 104 (1993), 229--241. https://doi.org/10.4064/sm-104-3-229-241
V. Phong, Theorems of Katznelson-Tzafriri type for semigroups of operators, J. Funct. Anal. 103 (1992), 74--84. https://doi.org/10.1016/0022-1236(92)90135-6
J. Rozendaal, D. Seifert, and R. Stahn, Optimal rates of decay for operator semigroups on Hilbert spaces, Adv. Math. 346 (2019), 359--388. https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.02.007
I. Singer, Bases in Banach Spaces I, Springer-Verlag, Berlin, 1970. https://doi.org/10.1007/978-3-642-51633-7
I. Singer, Bases in Banach Spaces II, Springer-Verlag, Berlin, 1981. https://doi.org/10.1007/978-3-642-67844-8
I. Singer, On Banach spaces with symmetric bases, Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 6 (1961), 159вЂ"166.
G.M. Sklyar, On the maximal asymptotics for linear differential equations in Banach spaces, Taiwanese J. Math. 14 (2010), 2203--2217. https://doi.org/10.11650/twjm/1500406070
G.M. Sklyar, On the decay of bounded semigroup on the domain of its generator, Vietnam J. Math. 43 (2015), 207--213. https://doi.org/10.1007/s10013-014-0093-z
G.M. Sklyar, V. Marchenko, Hardy inequality and the construction of infinitesimal operators with non-basis family of eigenvectors, J. Funct. Analysis 272(3) (2017), 1017--1043. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.11.001
G.M. Sklyar and V. Marchenko, Resolvent of the generator of the $C_0$-group with non-basis family of eigenvectors and sharpness of the XYZ theorem, J. Spectr. Theory 11 (2021), 369--386. https://doi.org/10.4171/jst/344
G.M. Sklyar and V. Marchenko, Hardy inequality and the construction of the generator of the $C_0$-group with eigenvectors not forming a basis, Dopov. Nac. Akad. Nauk Ukr. 9 (2015), 13--17 (in Ukrainian).
G.M. Sklyar, V. Marchenko, and P. Polak, Sharp polynomial bounds for certain $C_0$-groups generated by operators with non-basis family of eigenvectors, J. Funct. Analysis 280 (2021), Paper No. 108864. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2020.108864
G.M. Sklyar, V. Marchenko, and P. Polak, One class of linearly growing $C_0$-groups, J. Math. Phys. Anal. Geom. 17 (2021), 509--520. https://doi.org/10.15407/mag17.04.509
G.M. Sklyar and P. Polak, Asymptotic growth of solutions of neutral type systems, Appl. Math. Optim. 67(3) (2013), 453--477. https://doi.org/10.1007/s00245-013-9195-3
G.M. Sklyar and P. Polak, Notes on the asymptotic properties of some class of unbounded strongly continuous semigroups, J. Math. Phys. Anal. Geom. 15 (2019), 412--424. https://doi.org/10.15407/mag15.03.412
G.M. Sklyar and P. Polak, On asymptotic estimation of a discrete type $C_0$-semigroups on dense sets: application to neutral type systems, Appl. Math. Optim. 75 (2017), 175--192. https://doi.org/10.1007/s00245-015-9327-z
G.M. Sklyar, P. Polak, and B. Wasilewski On the relative decay of unbounded semigroups on the domain of the generator, J. Math. Phys. Anal. Geom. 20 (2024), 94--111. https://doi.org/10.15407/mag20.01.094
J. van Neerven, The Asymptotic Behaviour of Semigrops of Linear Operators, Oper. Theory Adv. Appl., vol. 88. Birkhäuser, Basel, 1996. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9206-3
M. Wakaiki, Decay of operator semigroups, infinite-time admissibility, and related resolvent estimates, J. Math, Anal. Appl. 538 (2024), Paper No. 128445. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2024.128445
G.Q. Xu and S.P. Yung, The expansion of a semigroup and a Riesz basis criterion, J. Differ. Equ. 210 (2005), 1--24. https://doi.org/10.1016/j.jde.2004.09.015
H. Zwart, Riesz basis for strongly continuous groups, J. Differ. Equ. 249 (2010), 2397--2408. https://doi.org/10.1016/j.jde.2010.07.020
