Sobolev’s Type Optimal Topology in the Problem of Exact Observability for Hilbert Space Dynamical Systems Connected with Riesz Basis of Divided Differences
Анотація
У цій статті розглядається проблема точної спостережуваності загального класу лінійних систем з розподіленими параметрами, пов'язаних з властивостями базису Рісса деяких сімейств експоненціальних функцій та розділених різниць цих функцій, в гільбертових просторах. За деяких припущень щодо асимптотичного спектрального аналізу диференціального оператора системи, сформульовано умови точної спостережуваності у вигляді того, що простори точної спостережуваності є прямою сумою деяких специфічних просторів Соболєва. Основний результат полягає у доведенні оптимальності цих підпросторів спостережуваних станів. Результат ґрунтувався на підході розширеного негармонічного аналізу, пов'язаному з незвичним фактом, що часово-просторовий базис Рісса складається не лише з експоненціальних функцій, а й містить розділені різниці цих функцій.
Mathematical Subject Classification 2020: 93B07, 35L40
Ключові слова:
точна спостережуваність, диференціальні рівняння з частинними похідними, необмежені оператори, базис Рісса розділених різниць, оптимальність підпросторів спостережуваностіПосилання
S.A. Avdonin and S.A. Ivanov, Exponential {R}iesz bases of subspaces and divided differences, St. Petersburg Math. J. 13 (2002), 339--351.
S.A. Avdonin and S.S. Ivanov, Families of Exponentials, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
C. Baiocchi, V. Komornik, and P. Loreti, Ingham-Beurling type theorems with weakened gap conditions, Acta Math. Hung. 97(1) (2002), 55--95. https://doi.org/10.1023/A:1020806811956
I. Elishakoff, Who developed the so-called {T}imoshenko beam theory?, Math. Mech. Solids 25 (2020), 97--116. https://doi.org/10.1177/1081286519856931
R. Graham, D. Knuth, and O. Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley Professional, Reading, MA, 1994.
M. Gugat, On the turnpike property with interior decay for optimal control problems, Math. Control Signals Syst. 33(2) (2021), 237--258. https://doi.org/10.1007/s00498-021-00280-4
B.H. Haak and E.M. Ouhabaz, Exact observability, square functions and spectral theory, J. Funct. Anal. 262 (2012), 2903--2927. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2012.01.007
A. Haraux, T. Liard, and Y. Privat, How to estimate observability constants of one-dimensional wave equations? Propagation versus spectral methods, J. Evol. Equ. 16(4) (2016), 825--856. https://doi.org/10.1007/s00028-016-0321-y
B. Jacob and R. Schnaubelt, Observability of polynomially stable systems, Syst. Control Lett. 56 (2007), 277--284. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2006.10.006
B. Jacob and H. Zwart, Exact observability of diagonal systems with a finite-dimensional output operator, Syst. Control Lett. 43 (2001), 101--109. https://doi.org/10.1016/S0167-6911(00)00117-1
B. Jacob and H. Zwart, Observability for port-Hamiltonian systems, 2021 Proc. Eur. Cont. Conf. (ECC) (2021), 2052--2057. https://doi.org/10.23919/ECC54610.2021.9654840
W. Krabs, G. M. Sklyar, and J. Woźniak, On the Set of Reachable States in the Problem of Controllability of Rotating Timoshenko Beams, Z. Anal. Anwend. 22 (2003), 215--228. https://doi.org/10.4171/zaa/1141
X. Ma, Q. Qi, X. Li, and H. Zhang, Optimal control and stabilization for linear continuous-time mean-field systems with delay, IET Control Theory Appl. 16 (2022), 283--300. https://doi.org/10.1049/cth2.12225
S. Micu and E. Zuazua, An introduction to the controllability of partial differential equations, 69--157, Quelques questions de théorie du contrôle, Collection Travaux en Cours, Hermann, Paris, 2004.
R. Rabah and G. M. Sklyar, Exact observability and controllability for linear neutral type systems, Systems Control Lett. 89 (2016), 8--15. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2015.12.010
K. Ramdani, T. Takahashi, G. Tenenbaum, and M. Tucsnak, A spectral approach for the exact observability of infinite-dimensional systems with skew-adjoint generator, J. Funct. Anal. 226 (2005), 193--229. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2005.02.009
D.L. Russell, Nonharmonic Fourier series in the control theory of distributed parameter systems, J. Math. Anal. Appl. 18(3) (1967), 542--560. https://doi.org/10.1016/0022-247X(67)90045-5
M.A. Shubov, Spectral operators generated by Timoshenko beam model, Systems Control Lett. 38 (1999), 249--258.
https://doi.org/10.1016/S0167-6911(99)00072-9
M.A. Shubov, Exact controllability of damped Timoshenko beam, IMA J. Math. Control Inform. 17 (2000), 375--395. https://doi.org/10.1093/imamci/17.4.375
G.M. Sklyar, J. Woźniak, and M. Firkowski, Exact observability conditions for Hilbert space dynamical systems connected with {R}iesz basis of divided differences, Systems Control Lett. 145 (2020), 104782. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2020.104782
E. Trélat, Control in Finite and Infinite Dimension, Springer, Singapore, 2024.
M. Tucsnak and G. Weiss, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhäuser, Basel, 2009. https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8994-9
M. Tucsnak and G. Weiss, From exact observability to identification of singular sources, Math. Control Signals Syst. 27 (2015), 1--21. https://doi.org/10.1007/s00498-014-0132-z
D. Ullrich, Divided Differences and Systems of Nonharmonic Fourier Series, Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), 47--57. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1980-0574507-8
A. Zuyev and J. Kalosha, A dynamic observer for a class of infinite-dimensional vibrating flexible structures, 2023 Proc. Eur. Cont. Conf. (ECC) (2023), 1--6. https://doi.org/10.23919/ECC57647.2023.10178223
H. Zwart, Y. Le Gorrec, and B. Maschke, Relating systems properties of the wave and the {S}chr"{o}dinger equation, Evol. Equ. Control Theory 4 (2015), 233--240. https://doi.org/10.3934/eect.2015.4.233
