Note on Lieb-Thirring Type Inequalities for a Complex Perturbation of Fractional Laplacian
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag11.03.245Ключові слова:
дробовий оператор Шредінгера, комплексне збурення, переривчастий спектр, нерівність типу Ліба-ТіррінґаАнотація
Для $s>0$ нехай $H_0=(-\Delta)^s$ є дробовим лапласіаном. У даній статті ми одержуємо нерівності типу Ліба-Тіррінґа для дробового оператора Шредінгера, який визначається як $H=H_0+V$, де $V\in L^p(\mathbb{R}^d), p\geq1, d\geq 1$, - комплексний потенціал. Наші методи базуються на результатах робіт Borichev-Golinskii-Kupin [BGK09] і Hansmann [Han11].
Mathematics Subject Classification: 35P15, 30C35, 47A75, 47B10.
Посилання
[AAD01] A.A. Abramov, A. Aslanyan, and E.B. Davies, Bounds on Complex Eigenvalues and Resonances. — J. Phys. A, Math. Gen. 34 (2001), No. 1, 57–72.
[BGK09] A. Borichev, L. Golinskii, and S. Kupin, A Blaschke-Type Condition and its Application to Complex Jacobi Matrices. — Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), No. 1, 117–123.
[DHK09] M. Demuth, M. Hansmann, and G. Katriel, On the Discrete Spectrum of Non-Selfadjoint Operators. — J. Funct. Anal. 257 (2009), No. 9, 2742–2759.
[DHK13] M. Demuth, M. Hansmann, and G. Katriel, Eigenvalues of Non-Selfadjoint Operators: a Comparison of Two Approaches. — In: Mathematical Physics, Spectral Theory and Stochastic Analysis, pp. 107–163. Basel: Birkhäuser/Springer, 2013. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0591-9_2
[DPV12] E. Di Nezza, G. Palatucci and E. Valdinoci, Hitchhiker’s Guide to the Fractional Sobolev Spaces. — Bull. Sci. Math. 136 (2012), No. 5, 521–573.
[Dub14a] C. Dubuisson, On Quantitative Bounds on Eigenvalues of a Complex Perturbation of a Dirac Operator. — Integral Equations Oper. Theory 78 (2014), No. 2, 249–269.
[Dub14b] C. Dubuisson, Study of the Discrete Spectrum of Complex Perturbations of Operators from Mathematical Physics. PhD thesis. University of Bordeaux, 2014, soon available at hal.archives-ouvertes.fr.
[EE89] D.E. Edmunds and W.D. Evans, Spectral Theory and Differential Operators. Oxford, Clarendon Press, paperback ed. edition, 1089.
[FLLS06] R.L. Frank, A. Laptev, E.H. Lieb, and R. Seiringer, Lieb–Thirring Inequalities for Schrödinger Operators with Complex-Valued Potentials. — Lett. Math. Phys. 77 (2006), No. 3, 309–316.
[FLS08] R.L. Frank, E.H. Lieb, and R. Seiringer, Hardy–Lieb–Thirring Inequalities for Fractional Schrödinger Operators. — J. Am. Math. Soc. 21 (2008), No. 4, 925–950.
[GK69] I.C. Gohberg and M.G. Krein, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18. AMS, Providence, RI, 1969.
[Han10] M. Hansmann, On the Discrete Spectrum of Linear Operators in Hilbert Spaces. PhD thesis, TU Clausthal, 2010.
