Distribution of Eigenvalues of Sample Covariance Matrices with Tensor Product Samples

Автор(и)

  • D. Tieplova Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина пл. Свободы, 4, Харьков, 61022, Украина

DOI:

https://doi.org/10.15407/mag13.01.082

Ключові слова:

случайные матрицы, матрицы ковариаций, тензорное произведение, распределение собственных значений.

Анотація

В работе рассматриваются n2 × n2 вещественные симметичные и эрмитовы матрицы Mn, которые представимы в виде суммы mn тензорных произведений векторов X μ = B(Y μYμ), где Y μ - это i.i.d. случайные вектора из ℝn(ℂn) с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а B - это положительно определенная неслучайная n2 × n2 матрица. Доказано, что если mn / n2c и распределение собственных значений матрицы BJB, где J определяется ниже в (2.6), сходится слабо, то нормированная считающая мера собственных значений матрицы Mn слабо сходится по вероятности к неслучайной мере, причем ее преобразование Стилтьеса однозначно определяется с помощью определенного уравнения.

Анотацiя

У роботi розглядаються дiйснi симетричнi та ермiтовi матрицi Mn, розмiром n2 × n2, якi можна представити у виглядi суми mn тензорних добуткiв векторiв X μ = B(Y μYμ), де Y μ - це i.i.d. випадковi вектори з ℝn(ℂn) з нульовим математичним сподiванням та одиничною дисперсiєю, та B - це n2 × n2 додатно визначена невипадкова матриця. Доведено, що якщо mn / n2c, та розподiл власних значень матрицi BJB, де J визначається нижче у (2.6), слабко збiгається, тодi нормована рахуюча мiра власних значень матрицi Mn слабко збiгається по iмовiрностi до невипадкової мiри, а її перетворення Стiлтьєса може бути однозначно знайдено за допомогою певного рiвняння.

Mathematics Subject Classification: 15B52.

Посилання

N.I. Akhiezer and I.M. Glazman, Theory of Linear Operators in Hilbert Space. Dover, New York, 1993.

G. Akemann, J. Baik, and P. Di Francesco, The Oxford Handbook of Random Matrix Theory. Oxford Univ. Press, Oxford, 2011.

Z.D. Bai and J.W. Silverstein, Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices. Springer, New York, 2010. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0661-8

P.J. Forrester, Log-Gases and Random Matrices. Princeton Univ. Press, Princeton, New York, 2010.

J.S. Geronimo and T.P. Hill, Necessary and Suffcient Condition that the Limit of Stieltjes Transforms is the Stieltjes Transform. J. Approx. Theory, 2003. https://doi.org/10.1016/S0021-9045(02)00042-4

V.L. Girko, Theory of Stochastic Canonical Equations. Vols. I, II. Kluwer, Dordrecht, 2001.

T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators. Springer-Verlag, Berlin, 1976. https://doi.org/10.1007/978-3-642-66282-9

A. Lytova and L. Pastur, Central Limit Theorem for Linear Eigenvalue Statistics of Random Matrices with Independent Entries. — Annals of Probability 37 (2009), No. 5, 1778–1840 .

V. Marchenko and L. Pastur, The Eigenvalue of Distribution in Some Ensembles of Random Matrices. — Math. USSR Sbornik 1 (1967).

L. Pastur and M. Shcherbina, Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices. Mathematical Survives and Monographs. Vol. 171. AMS Providence, RI, 2011.

M. Shcherbina, Central Limit Theorem for Linear Eigenvalue Statistics of theWigner and Sample Covariance Random Matrices. — J. Math. Phys., Anal., Geom.7 (2011), No. 2, 176–192.

Downloads

Опубліковано

2017-02-17

Як цитувати

(1)
Tieplova, D. Distribution of Eigenvalues of Sample Covariance Matrices With Tensor Product Samples. J. Math. Phys. Anal. Geom. 2017, 13, 82-98.

Номер

Розділ

Статті

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.