On the Sharpness of One Integral Inequality for Closed Curves in ℝ4
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.04.502Ключові слова:
замкнута крива, кривина, криві зі сталими кривинами.Анотація
Для замкнутих кривих з ненульовими кривинами в $\mathbb R^4$ досліджується оптимальність інтегральної нерівності $\int_\gamma\sqrt{k_1^2+k_2^2+k_3^2}\,ds>2\pi$. Доведено, що довільна замкнута крива зі сталими додатними кривинами в $\mathbb R^4$ задовольняє нерівність $\int_\gamma\sqrt{k_1^2+k_2^2+k_3^2}\,ds\geq 2\sqrt{5}\pi$.
Mathematics Subject Classification: 53A04, 53A07.
Посилання
Yu.A. Aminov, Differential geometry and topology of curves, CRC Press, London, 2001.
Yu.A. Aminov, The Geometry of Submanifolds, CRC Press, London, 2001. https://doi.org/10.1007/BF01454836
A.A. Borisenko and Yu.A. Nikolaevskii, Grassmann manifolds and Grassmann image of submanifolds, Russian Math. Surveys 46 (1991), No. 2, 45–94.
K. Borsuk, Sur la courbure totale des courbes fermées, Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 251–265 (French).
W. Fenchel, Uber Krummung und Windung geschlossener Raumkurven, Math. Ann. 101 (1929), 238–252 (German).
V. Gorkaviy, One integral inequality for closed curve in Euclidean space, C. R. Acad. Sci. Paris 321 (1995), 1587–1591. https://doi.org/10.1070/RM1991v046n02ABEH002742
V. Gor’kavyi, Reconstruction of a submanifold of a Euclidean space from the Grassmannian image that degenerates into a line, Math. Notes 59 (1996), No. 5–6, 490– 497. https://doi.org/10.1007/BF02308815
