On Hilbert–Schmidt Frames for Operators and Riesz Bases

Автор(и)

  • Jyoti Department of Mathematics, University of Delhi, Delhi-110007, India
  • Lalit Kumar Vashisht Department of Mathematics, University of Delhi, Delhi-110007, India

DOI:

https://doi.org/10.15407/mag19.03.799

Анотація

Стійкий аналіз і реконструкцію векторів у замкнених підпросторах гільбертових просторів можна вивчати за допомогою фреймових умов за типом Гурвіти, які пов'язані з поняттям атомарних систем у сепарабельних гільбертових просторах. У цій роботі спочатку ми надаємо фреймові умови за типом Гурвіти для класу операторів Гільберта-Шмідта (коротко, клас $\mathcal{C}_2$), де обмежений лінійний оператор контролює нижню фреймову умову. Ми обговорюємо відображення, що зберігають фрейм для фреймів Гільберта-Шмідта для підпросторів сепарабельного гільбертового простору. Встановлюємо існування фреймів Гільберта-Шмідта для підпросторів класу Гільберта-Шмідта $\mathcal{C}_2$. Показано, що кожен сепарабельний гільбертовий простір допускає фрейм Гільберта-Шмідта відносно даного сепарабельного гільбертового простору. Отримано необхідні та достатні умови для фреймових умов за типом Гурвіти для сум фреймів Гільберта-Шмідта для підпросторів. Нарешті, ми обговорюємо базиси Гільберта-Шмідта Ріса в сепарабельних гільбертових просторах.

Mathematical Subject Classification 2020: 42C15, 42C30, 42C40, 43A32

Ключові слова:

фрейми, фрейми Гільберта-Шмідта, К-фрейми, збурення

Посилання

A. Aldroubi, Portraits of frames, Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), No. 6, 1661--1668. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1995-1242070-5

A. Aldroubi, C. Cabrelli, A. F. Cakmak, U. Molter, and A. Petrosyan, Iterative actions of normal operators, J. Funct. Anal. 272 (2017), No. 3, 1121--1146. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.10.027

P. Balazs, Hilbert-Schmidt operators and frames-classification, best approximation by multipliers and algorithms, Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process. 6 (2008), No. 2, 315--330. https://doi.org/10.1142/S0219691308002379

G. Bhatt, B.D. Johnson, and E. Weber, Orthogonal wavelet frames and vector-valued wavelet transforms, Appl. Comput. Harmon. Anal. 23 (2007), 215--234. https://doi.org/10.1016/j.acha.2007.01.002

P.G. Casazza and G. Kutyniok, Finite frames: Theory and Applications, Birkhäuser, New York, 2013. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8373-3

J. Cahill and P.G. Casazza, The Paulsen problem in operator theory, Oper. Matrices 7 (2013), No. 1, 117--130. https://doi.org/10.7153/oam-07-06

O. Christensen, An Introduction to Frames and Riesz Bases, 2$^{nd}$ ed., Birkhäuser, Boston, 2016. https://doi.org/10.1007/978-3-319-25613-9

Deepshikha, L. K. Vashisht, and G. Verma, Generalized weaving frames for operators in Hilbert spaces, Results Math. 72 (2017), No. 3, 1369--1391. https://doi.org/10.1007/s00025-017-0704-6

Deepshikha and L. K. Vashisht, Weaving $K$-frames in Hilbert spaces, Results Math. 73 (2018), No. 2, 81. https://doi.org/10.1007/s00025-018-0843-4

D.-X. Ding, Generalized continuous frames constructed by using an iterated function system, J. Geom. Phys. 61 (2011), 1045--1050. https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2011.02.006

R.G. Douglas, On majorization, factorization, and range inclusion of operators on Hilbert space, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), No. 2, 413--415. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1966-0203464-1

R.J. Duffin and A.C. Schaeffer, A class of nonharmonic Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 341--366. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1952-0047179-6

L. Gǎvruta, Frames for operators, Appl. Compu. Harmon. Anal. 32 (2012), 139--144. https://doi.org/10.1016/j.acha.2011.07.006

D. Han and D.R. Larson, Frames, bases and group representations, Mem. Amer. Math. Soc., 147 , Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

C. Heil, A Basis Theory Primer, (Expanded ed.), Birkhäuser, New York, 2011. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4687-5

Jyoti and L.K. Vashisht, $K$-Matrix-valued wave packet frames in $L^2(R^d, C^{s×r})$, Math. Phys. Anal. Geom. 21 (2018), No. 3, 21. https://doi.org/10.1007/s11040-018-9280-6

Jyoti, L.K. Vashisht, and G. Verma, Operators related to the reconstruction property in Banach spaces, Results Math. 74 (2019), No. 3, 125. https://doi.org/10.1007/s00025-019-1050-7

Jyoti and L.K. Vashisht, On matrix-valued wave packet frames in $L^2(R^d, C^{s×r})$, Anal. Math. Phys. 10 (2020), No. 4, 66. https://doi.org/10.1007/s13324-020-00417-9

T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2$^{nd}$ ed., Springer-Verlag, New York, 1976.

Y.Y. Koo and J.K. Lim, Schatten-class operators and frames, Quaest. Math. 34 (2011), 203--211. https://doi.org/10.2989/16073606.2011.594235

G. Sadeghi and, A. Arefijamaal, Von Neumann-Schatten frames in separable Banach spaces, Mediterr. J. Math. 9 (2012), 525--535. https://doi.org/10.1007/s00009-011-0132-x

R. Schatten, Norm Ideals of Completely Continious Operators, Springer, Berlin-Heidelberg, 1960. https://doi.org/10.1007/978-3-642-87652-3

B. Simon, Trace Ideals and their Applications, 2$^{nd}$ ed., Mathematical Surveys and Monographs, 120. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

W. Sun, $G$-frames and $g$-Riesz bases, J. Math. Anal. Appl. 322 (2006), No. 1, 437--452. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.09.039

W. Sun, Stability of $g$-frames, J. Math. Anal. Appl. 326 (2007), No. 2, 858--868. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.03.043

L.K. Vashisht and Deepshikha, Weaving properties of generalized continuous frames generated by an iterated function system, J. Geom. Phys. 110 (2016), 282--295. https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2016.08.009

X. Xiao, Y. Zhu, and L. Gǎvruta, Some properties of $K$-frames in Hilbert spaces, Results Math. 63 (2013), No. 3-4, 1243--1255. https://doi.org/10.1007/s00025-012-0266-6

W. Zhang, Dual and approximately dual Hilbert-Schmidt frames in Hilbert spaces, Results Math. 73 (2018), 4. https://doi.org/10.1007/s00025-018-0793-x

Downloads

Як цитувати

(1)
Jyoti; Vashisht, L. K. On Hilbert–Schmidt Frames for Operators and Riesz Bases. Журн. мат. фіз. анал. геом. 2023, 19, 799–821.

Номер

Розділ

Статті

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.

Статті цього автора (авторів), які найбільше читають