Inclination of Subspaces and Decomposition of Electromagnetic Fields into Potential and Vortex Components
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag20.03.03Анотація
Використовуючи поняття нахилу двох підпросторів $L$ і $M$ гільбертового простору $\mathcal{H}$, доведено теорему про продовження лінійних неперервних функціоналів, визначених на підпросторі $L$, до $\mathcal{H }$ так, що розширені функціонали дорівнюють нулю на підпросторі $M$. Ми застосували цю теорему для дослідження питання розкладання електромагнітного поля в резонаторі з ідеально провідною межею на потенційну та вихрову складові та вивели нерівність типу Корна для вихрових полів.
Mathematical Subject Classification 2020: 46B20, 46C15
Ключові слова:
гільбертів простір, нахил підпросторів, розширення функціоналів, розкладання електромагнітного поляПосилання
E.Ya. Khruslov, Homogenization of Maxwell's equations in domains with dense perfectly conducting grids, Ukr. Math. Bull., 4 (2005), No. 1, 113--145 (Russian).
M.M. Grinblyum, On the representation of a space of type B in the form of a direct sum of subspaces, Doklady Akad. Nauk SSSR 70 (1950), 749--752.
V.I. Gurarii, On the subspaces inclinations and conditional bases in the Banach space, Doklady AN SSSR 145 (1962), 504--506 (Russian).
V.I. Gurarii, Openings and inclinations of subspaces of a Banach space, Teor. Funkcii, Funk. Anal. Pril. 1 (1965), 194--204 (Russian).
T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin-Hei-delberg-New York, 1966. https://doi.org/10.1007/978-3-662-12678-3
K. Fridrichs, On certain inequalities and characteristics value problems for analytic functions and for functions of two variables, Trans. Amer. Math. Sci. 41 (1937), 321--364. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1937-1501907-0
J. Dixmierm, Etude sur les varietes et les operateur de Julia avec quelques applications, Bull. Soc. Math. France, 77 (1949), 1--101. https://doi.org/10.24033/bsmf.1403
F. Deutsch, The angle between subspaces of a Hilbert space, Approximation Theory. Wavelets Applications, Kluwer Acad. Publ., Dotrech, 1995, 107--130. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8577-4_7
A. Böttcher and I.M. Spitkovsky, A gentle guide of the basic of two projections theory, Linear Algebra Appl. 432 (2010), 1412--1450. https://doi.org/10.1016/j.laa.2009.11.002
E. Ljance, Certain properties of the idenpotant operators, Teoret. Prikl. Mat., (1958), 16--22 (Russian).
I.S. Feshchenko, Of closedness of sum of $n$-subspaces of a Hilbert space, Ukr. Math. J. 23 (2012), No. 10, 1566--1622. https://doi.org/10.1007/s11253-012-0601-9
C. Badea, S. Grivanx, and V. Müller, The rate of convergence in the method of alternating projectors, Algebra i Analiz 23 (2011) No. 3, 1--20 (Russian). https://doi.org/10.1090/S1061-0022-2012-01202-1
M.G. Krein, M.A. Krasnoselskii, and D.P. Milman, On the defect numbers of linear operators in Banach spaces and geometric questions, Trudy Inst. Mat. Acad. Nauk. Ukr. SSR, 11 (1948), 97--112 (Russian).
N.J. Dunford and J.T. Schwarts, Linear operators. General theory, Interscience Publisher, New York, 1958.
G. Duvant and J-L. Lions, Les inequations en mechanique et en physique, Dunod, Paris, 1972.
M.S. Birman and M.Z. Solomiak, Main singularities of the electric component of electromagnetic fields in domains with screlus, Algebra i Analiz 5 (1993), No. 1, 143--161 (Russian).
M.Sh. Birman and M.Z. Solomyak, Maxwell operator in regions with nonsmooth boundaries. Sib. Math. J 28 (1987), 12--24. https://doi.org/10.1007/BF00970204
M.Sh. Birman and M.Z. Solomyak, $L_2$-Theory of the Maxwell operator in arbitrary domains, Russ. Math. Surveys 42 (1987), No. 6, 75--96. https://doi.org/10.1070/RM1987v042n06ABEH001505
M.Sh. Birman and M.Z. Solomyak, The self-adjoint Maxwell operator in arbitrary domains, Algebra i Analiz 1 (1989), No. 1, 96--110 (Russian).
O.A. Ladyzhenskaya and N.N. Ural'tseva, Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Academic Press, 2016.
E.B. Byhovskii and N.V. Smirnov, Orthogonal decomposition of the space of vector-functions square summable on a given domain and operators of vector analysis, Trudy Math. Inst. Steclov 59 (1960), 5--36.
K.O. Friedrichs, Differential forms on Riemannian manifolds, Comm. Pure Appl. Math. 8 (1955), 551--590. https://doi.org/10.1002/cpa.3160080408
V.M. Bojev, Electromagnetic fields, Planet-Print, Kharkiv, 2020.
C.O. Horgan, Korn's inequalities and their applications in continuum mechanics, SIAM Rev. 37 (1995), 491--511. https://doi.org/10.1137/1037123
