Rigidity of Closed Convex Hypersurfaces in Multidimensional Spaces of Constant Curvature
Анотація
У 1972 році Є.П. Сенькін узагальнив знамениту теорему О.В. Погорєлова про однозначну визначеність замкнутих опуклих поверхонь їх внутрішньою метрикою в тримірному евклідовому просторі $E^3$ на випадок багатомірного евклідового простору $E^{n+1}$ за деяких додаткових умов щодо гладкості гіперповерхонь. У цій статті ми позбавляємось згаданих умов і встановлюємо теорему про однозначну визначеність для довільних замкнутих опуклих гіперповерхонь в $E^{n+1}$, $n \ge 3$. Аналогічні результати також одержані і в інших модельних просторах сталої кривини.
Mathematical Subject Classification 2020: 52A10, 52A55, 51M10, 53C22
Ключові слова:
однозначна визначеність, опукла гіперповерхня, простір сталої кривиниПосилання
A.V. Pogorelov, Extrinsic Geometry of Convex Surfaces, Translations of Mathematical Monographs, 35, Amer. Math. Soc., 1973. https://doi.org/10.1090/mmono/035
S. Cohn-Vossen, Zwei Sätze über die Starrheit der Eiflächen, Göttingen Nachrichten, 1927, 125--134.
G. Herglotz, Über die Starrheit der Eiflächen, Abh. Math. Semin. Hansische Univ. 15 (1943), 127--129. https://doi.org/10.1007/BF02941079
A.D. Milka, Uniqueness of general closed convex surfaces in the Lobachevsky space, Ukr. Geom. Sb. 23, (1980), 99--107 (Russian).
E.P. Sen'kin, Inflexibility of convex hypersurfaces, Ukr. Geom. Sb. 12 (1972) 131--152 (Russian).
M.P. Do Carmo, F.W. Warner, Rigidity and convexity of hypersurfaces in sphere, J. Diff. Geom. 4 (1970), No. 2, 133--144. https://doi.org/10.4310/jdg/1214429378
T.A. Gorsij, Uniqueness of smooth convex hypersurfaces in spherical space, Ukr. Geom. Sb. 15 (1974), 36--42 (Russian).