An Analog of Multiplier Sequences for the Set of Totally Positive Sequences
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag20.03.06Анотація
Дійсна послідовність $(b_k)_{k=0}^\infty$ називається тотально додатною, якщо всі мінори нескінченної матриці $ \left\| b_{j-i} \right\|_{i, j =0}^\infty$ є невід’ємними (тут $b_k=0$ для $k<0$). У цій статті ми досліджуємо проблему опису множини послідовностей $(a_k)_{k=0}^\infty$, таких, що для кожної тотально додатної послідовності $(b_k)_{k=0}^\infty$ послідовність $(a_k b_k)_{k=0}^\infty$ також є тотально додатною. Ми отримуємо опис таких послідовностей $(a_k)_{k=0}^\infty$ у двох випадках: коли твірна функція послідовності $\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ має принаймні один полюс, а також коли послідовність $(a_k)_{k=0}^\infty$ має не більше чотирьох ненульових членів.
Mathematical Subject Classification 2020: 30C15, 15B48, 30D15, 26C10, 30D99, 30B10
Ключові слова:
тотально додатна послідовність, кратно додатна послідовність, многочлени з усіма дійсними коренями, послідовність множників, клас Лагерра-ПоліаПосилання
M. Aissen, A. Edrei, I.J. Schoenberg, and A. Whitney, On the Generating Functions of Totally Positive Sequences, J. Anal. Math. 2 (1952), 93--109. https://doi.org/10.1007/BF02786970
T. Ando, Totally positive matrices, Linear Alg. & Its Appl. 90 (1987), 165--219. https://doi.org/10.1016/0024-3795(87)90313-2
T. Craven and G. Csordas, Complex zero decreasing sequences, Methods Appl. Anal. 2 (1995), 420--441. https://doi.org/10.4310/MAA.1995.v2.n4.a4
A. Dyachenko, Total Nonnegativity of Infinite Hurwitz Matrices of Entire and Meromorphic Functions, Complex Anal. Oper. Theory 8 (2014), 1097--1127. https://doi.org/10.1007/s11785-013-0344-0
A. Dyachenko, Hurwitz matrices of doubly infinite series, Linear Algebra Appl. 530 (2017), 266--287. https://doi.org/10.1016/j.laa.2017.05.012
A. Dyachenko and A. Sokal, Total-positivity characterization of the Laguerre-Pólya class $LP^+$. Oberwolfach Rep. (Eds. K. Driver, O. Holtz, and A. Sokal) 19 (2022), No. 1, 657--681. https://doi.org/10.4171/owr/2022/13
M. Fekete, G. Pólya, Über ein Problem von Laguerre, Rend. Circ. Mat. Palermo 34 (1912), 89--120. https://doi.org/10.1007/BF03015009
I.I. Hirschman and D.V. Widder, The Convolution Transform, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1955.
J.I. Hutchinson, On a remarkable class of entire functions, Trans. Amer. Math. Soc. 25 (1923), 325--332. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1923-1501248-1
S. Karlin, Total Positivity, I, Stanford Univ. Press, California, 1968.
O.M. Katkova, T. Lobova, and A.M. Vishnyakova, On power series having sections with only real zeros, Comput. Methods Funct. Theory 3 (2003), No. 2, 425--441. https://doi.org/10.1007/BF03321047
O.M. Katkova, T. Lobova-Eisner, A.M. Vishnyakova, On entire functions having Taylor sections with only real zeros, Mat. Fiz. Anal. Geom. 11 (2004), No. 4, 449--469.
V.P. Kostov and B. Shapiro, Hardy-Petrovitch-Hutchinson's problem and partial theta function, Duke Math. J. 162 (2013), No. 5, 825--861. https://doi.org/10.1215/00127094-2087264
B.Ja. Levin, Distribution of Zeros of Entire Functions, Translations of Mathematical Monographs, 5, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1964.
T.H. Nguyen and A. Vishnyakova, On the entire functions from the Laguerre-Pólya class having the decreasing second quotients of Taylor coefficients, J. Math. Anal. Appl. 465 (2018), No. 1, 348--359. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.05.018
T.H. Nguyen and A. Vishnyakova, Hutchinson's intervals and entire functions from the Laguerre-Pólya class, Eur. J. Math. 10 (2024), Art. No. 10, 14 pp. https://doi.org/10.1007/s40879-023-00723-z
N. Obreschkov, Verteilung und Berechnung der Nullstellen reeller Polynome, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1963.
I.V. Ostrovskii, On Zero Distribution of Sections and Tails of Power Series, Israel Math. Conference Proceedings, 15 (2001), 297--310.
I.V. Ostrovskii and N.A. Zheltukhina, Parametric representation of a class of multiply positive sequences, Complex Variables, Theory and Application, 37 (1998), 457--469. https://doi.org/10.1080/17476939808815144
A. Pinkus, Spectral properties of totally positive kernels and matrices, Total Positivity and its Applications (Eds. M. Gasca and C.A. Micchelli), Kluwer Acad. Publ. (1996), 477--511. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8674-0_23
G. Pólya, Collected Papers, II: Location of Zeros, MIT Press, Cambridge, MA, 1974.
G. Pólya and J. Schur, Über zwei Arten von Faktorenfolgen in der Theorie der algebraischen Gleichungen, J. Reine Andrew. Math., 144 (1914), 89--113. https://doi.org/10.1515/crll.1914.144.89
S.O. Warnaar, Partial theta functions, preprint. Available from: https://www.researchgate.net/publication/327791878_Partial_theta_functions
The AIM workshop “``Theory and applications of total positivity”, https://aimath.org/pastworkshops/totalpos.html
