The L2-Norm of the Euler Class for Foliations on Closed Irreducible Riemannian 3-Manifolds
Анотація
Через сталі, що обмежують об'єм, радіус ін'єктивності, секційну кривизну многовиду та модуль середньої кривини шарів, наведено верхню межу $L^2$-норми класу Ейлера $e(\cal F)$ довільного трансверсально орієнтованого шарування $\cal F$ ковимірності один, визначеного на тривимірному замкненому незвідному орієнтованому рімановому тривимірному многовиді $M^3$. Як наслідок, маємо тільки скінченну кількість когомологічних класів групи $H^2(M^3)$, які можуть бути реалізовані класом Ейлера $e(\cal F)$ двовимірного трансверсально орієнтованого шарування $\cal F$, шари якого мають модуль середньої кривини, обмежений зверху фіксованою константою $H_0$.
Mathematical Subject Classification 2020: 53C12, 57R30, 53C20
Ключові слова:
3-вимірний многовид, шарування, клас Ейлера, середня кривинаПосилання
V. Bangert and M. Katz, An optimal Loewner-type systolic inequality and harmonic one-forms of constant norm, Commun. Anal. Geom. 12 (2004), 703--732. https://doi.org/10.4310/CAG.2004.v12.n3.a8
D.V. Bolotov, Foliations on closed three-dimensional Riemannian manifolds with a small modulus of mean curvature of the leaves, Izvestiya: Mathematics 86 (2022), 699--714. https://doi.org/10.1070/IM9124
D.V. Bolotov, On foliations of bounded mean curvature on closed three-dimensional Riemannian manifolds, Proc. Int. Geom. Cent. 16 (2023), 173--182. https://doi.org/10.15673/pigc.v16i2.2510
Yu.D. Burago and V.A. Zalgaller, Introduction to Riemannian Geometry, Nauka, St. Petersburg, 1994 (Russian).
A. Candel and L. Conlon, Foliations I, Graduate Studies in Mathematics, 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000. https://doi.org/10.1090/gsm/023
A. Candel and L. Conlon, Foliations II, Graduate Studies in Mathematics, 60, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003. https://doi.org/10.1090/gsm/060
M.P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2201-7
C.B. Croke, Some isoperimetric inequalities and eigenvalue estimates, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 13 (1980), No. 4, 419--435. https://doi.org/10.24033/asens.1390
J. Eells and J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math. 86 (1964), 621--657. https://doi.org/10.2307/2373037
Y. Eliashberg and W. Thurston, Confoliations, University Lecture Series, 13, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998. https://doi.org/10.1090/ulect/013
D. Goodman, Closed leaves in foliations of codimension one, Comment. Math. Helv. 50 (1975), 383--388. https://doi.org/10.1007/BF02565757
A. Hatcher, Notes on Basic 3-Manifold Topology, 2000, https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/3M/3M.pdf
H. Hector and U. Hirsch, Introduction to the Geometry of Foliations. Part B. Foliations of Codimension One, Aspects of Mathematics, 97, Friedr. Vieweg Sohn, Braunschweig, 1987. https://doi.org/10.1007/978-3-322-90161-3
M.W. Hirsch, Differential Topology, 33, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1976. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9449-5
M. Katz, Systolic geometry and topology, Math. Surveys Monographs, 137, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007. https://doi.org/10.1090/surv/137
P.B. Kronheimer and T.S. Mrowka, Scalar curvature and the Thurston norm, Math. Res. Lett. 4 (1997), 931--937. https://doi.org/10.4310/MRL.1997.v4.n6.a12
S.B. Myers, Riemannian manifolds with positive mean curvature, Duke Math. J. 8 (1941), 401--404. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-41-00832-3
S.P. Novikov, Topology of foliations, Trans. Moscow. Math. Soc. 14 (1967), 268--304.
J. Palis and W. de Melo, Geometric theory of dynamical systems. An introduction, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5
P. Petersen, Riemannian Geometry, Graduate Text in Mathematics, Springer, 2016. https://doi.org/10.1007/978-3-319-26654-1
P.M. Pu, Some inequalities in certain nonorientable Riemannian manifolds, Pacific J. Math. 2 (1952), 55--71. https://doi.org/10.2140/pjm.1952.2.55
G. Reeb, Sur la courbure moyenne des variétés intégrales d’une équation de Pfaff $omega = 0$, C. R. Acad. Sci. Paris 231 (1950), 101 --102.
K.S. Sibirsky, Introduction to Topological Dynamics, RIA AN MSSR, 1970 (Russian); Engl transl.: Introduction to Topological Dynamics, Noordhoff, Leyden, 1975. https://doi.org/10.1007/978-94-010-2308-5
D. Sullivan, A homological characterization of foliations consisting of minimal surfaces, Comment. Math. Helv. 54 (1979), 218--223. https://doi.org/10.1007/BF02566269
D.L. Stern, Scalar curvature and harmonic maps to $S^1$, J. Differential Geom. 122 (2022), 259--269. https://doi.org/10.4310/jdg/1669998185
I. Tamura, Topology of foliations: an introduction, (Translated from the 1976 Japanese edition), Mathematical Monographs, 97, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.
W.P. Thurston, A norm for the homology of 3-manifolds, Mem. Amer. Math. Soc. 59 (1986), 99 --130.
W.P. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, 1, (Ed. S. Levi), Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1992.
