Measures and Dynamics on Pascal–Bratteli Diagrams
Анотація
Ми вводимо та дослiджуємо динамiчнi системи та мiри на стацiонарних узагальнених дiаграмах Браттелi $B$, якi представленi як об’єднання злiченної кiлькостi класичних дiаграм Паскаля-Браттелi. Ми описуємо всi ергодичнi мiри на $B$, iнварiантнi вiдносно хвостового вiдношення еквiвалентностi. Для кожної ймовiрнiсної iнварiантної мiри $\nu_p$ на класичнiй дiаграмi Паскаля-Браттелi, ми апроксимуємо носiй $\nu_p$ простором шляхiв пiддiаграми. Розглядаючи рiзнi порядки на ребрах $B$, ми визначаємо динамiчнi системи з рiзними властивостями. Ми показуємо, що iснують порядки, для яких множини нескiнченних максимальних та нескiнченних мiнiмальних шляхiв порожнi. Це означає, що вiдповiдне вiдображення Вершика є гомеоморфiзмом. Ми також описуємо порядки як на $B$, так i на класичнiй дiаграмi Паскаля-Браттелi, якi генерують або незлiченну кiлькiсть мiнiмальних нескiнченних шляхiв та незлiченну кiлькiсть максимальних нескiнченних шляхiв, або незлiченну кiлькiсть мiнiмальних нескiнченних шляхiв та злiченну нескiнченну кiлькiсть максимальних нескiнченних шляхiв.
Mathematical Subject Classification 2020: 37A05, 37B05, 37A40, 54H05, 28D05
Ключові слова:
борелiвськi динамiчнi системи, моделi Браттелi-Вершика, iнварiантнi мiри, хвостове вiдношення еквiвалентностi, дiаграма Паскаля-БраттелiПосилання
M. Adamska, S. Bezuglyi, O. Karpel, and J. Kwiatkowski, Subdiagrams and invariant measures on Bratteli diagrams, Ergodic Theory Dynam. Systems 37 (2017), 2417--2452. https://doi.org/10.1017/etds.2016.8
S. Bezuglyi, A. H. Dooley, and J. Kwiatkowski, Topologies on the group of Borel automorphisms of a standard Borel space, Topol. Methods Nonlinear Anal. 27 (2006), 333--385.
S. Bezuglyi and P. E. T. Jorgensen, Harmonic analysis on graphs via Bratteli diagrams and path-space measures, Dissertationes Math. 574 (2022), 74 pp. https://doi.org/10.4064/dm826-12-2021
S. Bezuglyi, P. E. T. Jorgensen, O. Karpel, and J. Kwiatkowski, Horizontally stationary generalized Bratteli diagrams, preprint, https://arxiv.org/abs/2409.10084, to appear in Fundamenta Mathematicae.
S. Bezuglyi, P. Jorgensen, O. Karpel, and S. Sanadhya, Bratteli diagrams in Borel dynamics, Groups Geom. Dyn., DOI 10.4171/GGD/849.
S. Bezuglyi, P. Jorgensen, and S. Sanadhya, Invariant measures and generalized Bratteli diagrams for substitutions on infinite alphabets, Advances in Applied Mathematics 156 (2024), article nr. 102687. https://doi.org/10.1016/j.aam.2024.102687
S. Bezuglyi and O. Karpel, Bratteli diagrams: structure, measures, dynamics, Contemp. Math. 669 (2016), 1--36. https://doi.org/10.1090/conm/669/13421
S. Bezuglyi, O. Karpel, and J. Kwiatkowski, Subdiagrams of Bratteli diagrams supporting finite invariant measures, Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom., 11 (2015), 3--17. https://doi.org/10.15407/mag11.01.003
S. Bezuglyi, O. Karpel, and J. Kwiatkowski, Exact number of ergodic invariant measures for Bratteli diagrams, J. Math. Anal. Appl. 480 (2019), article nr. 123431. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.123431
S. Bezuglyi, O. Karpel, and J. Kwiatkowski, Invariant measures for reducible generalized {B}ratteli diagrams, J. Math. Phys. Anal. Geom. 20 (2024), 3--24.
S. Bezuglyi, O. Karpel, J. Kwiatkowski, and M. Wata, Inverse limit method for generalized Bratteli diagrams and invariant measures, preprint, https://arxiv.org/abs/2404.14654.
S. Bezuglyi, J. Kwiatkowski, and K. Medynets, Aperiodic substitution systems and their Bratteli diagrams, Ergodic Theory Dynam. Systems 29 (2009), 37--72. https://doi.org/10.1017/S0143385708000230
S. Bezuglyi, J. Kwiatkowski, K. Medynets, and B. Solomyak, Invariant measures on stationary Bratteli diagrams, Ergodic Theory Dynam. Systems 30 (2010), 973--1007. https://doi.org/10.1017/S0143385709000443
F. P. Boca, An AF algebra associated with the Farey tessellation, Canad. J. Math. 60 (2008), 975--1000. https://doi.org/10.4153/CJM-2008-043-1
T. Downarowicz and O. Karpel, Decisive {B}ratteli-{V}ershik models, Studia Math. 247 (2019), 251--271. https://doi.org/10.4064/sm170519-5-2
F. Durand, B. Host, and C. Skau, Substitutional dynamical systems, Bratteli diagrams and dimension groups, Ergodic Theory Dynam. Systems 19 (1999), 953--993. https://doi.org/10.1017/S0143385799133947
S. Ferenczi, Substitution dynamical systems on infinite alphabets, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006), 2315--2343. https://doi.org/10.5802/aif.2242
D. Frettlöh, A. Garber, and N. Ma~{n}ibo, Catalan numbers as discrepancies for a family of substitutions on infinite alphabets, Indag. Math. (N.S.) 35 (2024), 890--913 https://doi.org/10.1016/j.indag.2023.06.010
A. H. Forrest, $K$-groups associated with substitution minimal systems, Israel J. Math. 98 (1997), 101--139. https://doi.org/10.1007/BF02937330
S. Frick and N. Ormes, Dimension groups for polynomial odometers, Acta Appl. Math. 126 (2013), 165--186. https://doi.org/10.1007/s10440-013-9812-9
S. Frick and K. Petersen, Reinforced random walks and adic transformations, J. Theoret. Probab. 23 (2010), 920--943. https://doi.org/10.1007/s10959-010-0282-y
S. Frick, K. Petersen, and S. Shields, Dynamical properties of some adic systems with arbitrary orderings, Ergodic Theory Dynam. Systems 37 (2017), 2131--2162. https://doi.org/10.1017/etds.2015.128
S. Frick, K. Petersen, and S. Shields, Polynomial shape adic systems are inherently expansive, preprint, https://arxiv.org/abs/2409.00762.
R. H. Herman, I. F. Putnam, and C. F. Skau, Ordered {B}ratteli diagrams, dimension groups and topological dynamics, Internat. J. Math. 3 (1992), 827--864. https://doi.org/10.1142/S0129167X92000382
N. Mañibo, D. Rust, and J. Walton, Substitutions on compact alphabets, J. Lond. Math. Soc. (2) 111 (2025), article nr. e70123. https://doi.org/10.1112/jlms.70123
K. Medynets, Cantor aperiodic systems and Bratteli diagrams, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 342 (2006), 43--46. https://doi.org/10.1016/j.crma.2005.10.024
X. Méla, A class of nonstationary adic transformations, Ann. Inst. H. Poincar'{e} Probab. Statist. 42 (2006), 103--123. https://doi.org/10.1016/j.anihpb.2005.02.002
X. Méla and K. Petersen, Dynamical properties of the Pascal adic transformation, Ergodic Theory Dynam. Systems 25 (2005), 227--256. https://doi.org/10.1017/S0143385704000173
D. Mundici, Revisiting the Farey AF algebra, Milan J. Math. 79 (2011), 643--656. https://doi.org/10.1007/s00032-011-0166-3
G. Strasser, Generalisations of the Euler adic, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 150 (2011), 241--256. https://doi.org/10.1017/S0305004110000538
A. M. Vershik, Intrinsic metric on graded graphs, standardness, and invariant measures, Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 421 (2014), 58--67.
