Скінченночасовий вибух для дробового рівняння супердифузії з часовою похідною ψ-Капуто
Анотація
У цій статті досліджується часово-просторове дробове нелінійне рівняння супердифузії, розглянуте на всьому евклідовому просторі. Дробова похідна за часом є похідною $\psi$-Капуто порядку з інтервалу $(1,2)$, тоді як просторова похідна виражена за допомогою дробового лапласіана порядку з інтервалу $(0,1)$. Пов'язана задача Коші аналізується шляхом побудови як м'яких (mild), так і слабких (weak) розв'язків. Доведено, що м'який розв'язок також задовольняє слабке формулювання. Також досліджено поведінку розв'язків рівняння супердифузії в умовах скінченночасового вибуху (blow-up).
Mathematical Subject Classification 2020: 26A33, 35R11, 35B44, 35D30
Ключові слова:
дробове рівняння супердифузії, похідна $\psi$-Капуто, дробовий лапласіан, вибух розв'язку, м'який розв'язок, слабкий розв'язокПосилання
R. Almeida, A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 44 (2017), 460--481. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2016.09.006
T. Cazenave, F. Dickstein, and F.B. Weissler, An equation whose Fujita critical exponent is not given by scaling, Nonlinear Anal. 68 (2008), No. 4, 862--874. https://doi.org/10.1016/j.na.2006.11.042
D. del Castillo-Negrete, B.A. Carreras, and V.E. Lynch, Nondiffusive transport in plasma turbulence: A fractional diffusion approach, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), No. 6, Paper No. 065003. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.94.065003
E. Di Nezza, G. Palatucci, and E. Valdinoci, Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces, Bull. Sci. Math. 136 (2011), 521--573. https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2011.12.004
K. Diethelm, V. Kiryakova, Y. Luchko, J.A.T. Machado, and V.E. Tarasov, Trends, directions for further research, and some open problems of fractional calculus, Nonlinear Dyn. 107 (2022), No. 4, 3245--3270. https://doi.org/10.1007/s11071-021-07158-9
A.Z. Fino and M. Kirane, Qualitative properties of solutions to a time-space fractional evolution equation, Q. Appl. Math. 70 (2012), No. 1, 133--157. https://doi.org/10.1090/S0033-569X-2011-01246-9
H. Fujita, On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for $u_t =Delta u+u^{1+alpha}$, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 13 (1966), 109--124.
B. Hu, Blow-Up Theories for Semilinear Parabolic Equations, Springer, Heidelberg, 2011. https://doi.org/10.1007/978-3-642-18460-4
A.A. Kilbas, Hadamard-type fractional calculus, J. Korean Math. Soc. 38 (2001), No. 6, 1191--1204.
A.A. Kilbas and M. Saigo, $H$-Transforms: Theory and Applications, CRC Press, Boca Raton, 2004.
A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, and J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier Science, Amsterdam, 2006.
C. Li and Z. Li, Asymptotic behaviors of solution to partial differential equation with Caputo–Hadamard derivative and fractional Laplacian: Hyperbolic case, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 14 (2021), No. 10, 3659--3683. https://doi.org/10.3934/dcdss.2021023
C. Li and Z. Li, The blow-up and global existence of solution to Caputo-Hadamard fractional partial differential equation with fractional Laplacian, J. Nonlinear Sci. 31 (2021), No. 5, Paper No. 80. https://doi.org/10.1007/s00332-021-09736-y
C. Li and Z. Li, On blow-up for a time-space fractional partial differential equation with exponential kernel in temporal derivative, J. Math. Sci. 266 (2022), 381--394. https://doi.org/10.1007/s10958-022-05894-w
C. Li and Z. Li, The finite-time blow-up for semilinear fractional diffusion equations with time $psi$-Caputo derivative, J. Nonlinear Sci. 32 (2022), No. 6, Paper No. 82. https://doi.org/10.1007/s00332-022-09841-6
C. Li and Z. Li, Stability and $psi$-algebraic decay of the solution to $psi$-fractional differential system, Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 24 (2023), 695--733. https://doi.org/10.1515/ijnsns-2021-0189
F. Mainardi, Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models, Imperial College Press, London, 2010. https://doi.org/10.1142/p614
J. T. Osler, The Fractional Derivative of a Composite Function, SIAM J. Math. Anal. 1 (1970), No. 2, 288--293. https://doi.org/10.1137/0501026
J. Kemppainen, Positivity of the fundamental solution for fractional diffusion and wave equations, Math. Methods Appl. Sci. 44 (2021), 2468--2486. https://doi.org/10.1002/mma.5974
R. Metzler and J. Klafter, The random walk’s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach, Phys. Rep. 339 (2000), No. 1, 1--77. https://doi.org/10.1016/S0370-1573(00)00070-3
I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999.
S.G. Samko, A.A. Kilbas, and O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, 1993.
T. Sungkaworn, M.L. Jobin, K. Burnecki, A. Weron, M.J. Lohse, and D. Calebiro, Single-molecule imaging reveals receptor-G protein interactions at cell surface hot spots, Nature 550 (2017), No. 7677, Paper No. 543. https://doi.org/10.1038/nature24264
V.E. Tarasov, Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media, Springer, Berlin, 2010. https://doi.org/10.1007/978-3-642-14003-7
L. Vazquez, M.P. Velasco, J.L. Vazquez-Poletti, I.M. Llorente, D. Usero, and S. Jimenez, Modeling and simulation of the atmospheric dust dynamic: Fractional calculus and cloud computing, Int. J. Numer. Anal. Model. 15 (2018), No. 1-2, 74--85.
Q. Zhang and Y. Li, Global well-posedness and blow-up solutions of the Cauchy problem for a time-fractional superdiffusion equation, J. Evol. Equ. 19 (2019), No. 1, 271--303. https://doi.org/10.1007/s00028-018-0475-x
Q.G. Zhang and H.R. Sun, The blow-up and global existence of solutions of Cauchy problems for a time-fractional diffusion equation, Topol. Methods Nonlinear Anal. 46 (2015), No. 1, 69--92. https://doi.org/10.12775/TMNA.2015.038
