The Korteweg–De Vries Equation with Forcing Involving Products of Eigenfunctions
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag19.01.107Анотація
Нещодавно було запроваджено нову методологiю, яка, починаючи з iнтегровного еволюцiйного рiвняння будує iнтегровну форсовану (з правою частиною) версiю цього рiвняння. Форсування складається з доданкiв, що включають квадратичнi добутки певних власних функцiй асоцiйованої пари Лакса.
Ми застосовуємо цю методологiю, починаючи зi знакового рiвняння Кортевга–де Фрiза. Задача з початковими значеннями для асоцiйованого iнтегровного форсованого рiвняння може бути сформульована як задача Рiмана–Гiльберта з “матрицею стрибка”, шо має явну залежнiсть вiд x i t, яку можна обчислити за початковими даними. Таким чином, це рiвняння можна розв’язати так само ефективно, як i саме рiвняння Кортевега–де Фрiза.
Також показано, що це форсоване рiвняння разом з x частиною його пари Лакса, з’являються в моделюваннi важливих фiзичних явищ. Зокрема, в контекстi лазерно плазмової взаємодiї, а також в описi резонансних гравiтацiйно-капiлярних хвиль.
Mathematical Subject Classification 2020: 37K10, 35B35, 35B34
Ключові слова:
форсоване рiвняння КдФ, пара Лакса, iнтегровнiсть, проблема Рiмана–ГiльбертаПосилання
Q. Aubourg and N. Mordant, Investigation of resonances in gravity-capillary wave turbulence, Phys. Rev. Fluids. 1 (2016), 023701. https://doi.org/10.1103/PhysRevFluids.1.023701
M. Berhanu, Impact of the dissipation on the nonlinear interactions and turbulence of gravity-capillary waves, Fluids 7 (2022), 137. https://doi.org/10.3390/fluids7040137
A. Cazaubiel, F. Haudin, E. Falcon, and M. Berhanu, Forced three-wave interactions of capillary-gravity surface waves, Phys. Rev. Fluids 4 (2019), 074803. https://doi.org/10.1103/PhysRevFluids.4.074803
A. Fokas, An extension of integrable equations, Phys. Lett. A 447 (2022), 128290. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2022.128290
A. Fokas and A. Latifi, The nonlinear Schrödinger equation with forcing involving products of eigenfunctions, Open Comm. Nonlinear Math. Phys. 2 (2022), 9884. https://doi.org/10.46298/ocnmp.9809
A. Fokas and A. Its, An initial-boundary value problem for the Korteweg--de Vries equation, Math. Comput. Simulation 37 (1994), 293--321. https://doi.org/10.1016/0378-4754(94)00021-2
R. Grimshaw, The modulation of an internal gravity-wave packet, and the Resonance with the Mean Motion, Stud. Appl. Math. 56 (1977), 241--266. https://doi.org/10.1002/sapm1977563241
F. Haudin, A. Cazaubiel, L. Deike, T. Jamin, E. Falcon, and M. Berhanu, Experimental study of three-wave interactions among capillary-gravity surface waves, Phys. Rev. E 93 (2016), 043110. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.93.043110
P. Janssen and J. Bidlot, On the consequens of nonlinearity and gravity-capillary waves on wind-wave interaction, ECMWF Technical Memoranda (2021), 882.
P.K. Kaw and K. Nishikawa, Propagating filament solutions for nonlinear coupled electromagnetic and solitary ion waves, J. Phys. Soc. Jpn. 38 (1975), 1753--1759. https://doi.org/10.1143/JPSJ.38.1753
T. Kawahara, N. Sugimoto, and T. Kakutani, Nonlinear interaction between short and long capillary-gravity waves, J. Phys. Soc. Jpn. 39 (1975), 1379--1386. https://doi.org/10.1143/JPSJ.39.1379
L. Krutyansky, V. Preobrazhensky, D. Makalkin, A. Brysev, and P. Pernod, Parametric interaction of gravity-capillary wave triads under radiation pressure of ultrasound, Ultrasonics 100 (2020), 105972. https://doi.org/10.1016/j.ultras.2019.105972
J. Leon and A. Latifi, Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves, J. Phys. A: Math. Gen. 23 (1990), 1385. https://doi.org/10.1088/0305-4470/23/8/013
M. Manna and A. Latifi, Serre--Green--Naghdi dynamics under the action of the Jeffreys wind-wave interaction, Fluids 7 (2022), 266. https://doi.org/10.3390/fluids7080266
G. Sandri, A new method of expansion in mathematical physics---I, Il Nuovo Cimento 36 (1965), 67--93. https://doi.org/10.1007/BF02750660
L. Shemer and M. Chamesse, Experiments on nonlinear gravity-capillary waves, J. Fluid Mech. 380 (1999), 205--232. https://doi.org/10.1017/S0022112098003620
S. Shiryaeva, Nonlinear resonance interaction between three capillary-gravity waves on the plane charged fluid surface, Fluid Dynamics 49 (2014), 662--670. https://doi.org/10.1134/S0015462814050135
Surface Tension, The Engineering ToolBox. Available from: https://www.engineeringtoolbox.com/surface-tension-d_962.html
B. Texier, WKB asymptotics for the Euler--Maxwell equations, Asymptot. Anal. 42 (2005), 211--250.
B. Texier, Derivation of the Zakharov equations, Journées équations aux dérivées partielles 2005 (2005), 16.
N. Yajima and M. Oikawa, Formation and interaction of sonic-Langmuir solitons: inverse scattering method, Prog. Theor. Phys. 56 (1976), 1719--1739. https://doi.org/10.1143/PTP.56.1719
V. Zakharov, S. Musher, and A. Rubenchik, Hamiltonian approach to the description of non-linear plasma phenomena, Phys. Rep. 129 (1985), 285--366. https://doi.org/10.1016/0370-1573(85)90040-7
V. Zakharov and A. Shabat, Exact Theory of Two-dimensional Self-focusing and One-dimensional Self-modulation of Wave in Nonlinear Media, J. Exp. Theor. Phys. 61 (1972), 118--126.
