On High Moments and the Spectral Norm of Large Dilute Wigner Random Matrices
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag10.01.064Анотація
Розглянуто розріджену версію ансамблю Вігнера випадкових дійсних симетричних $n\times n$-матриць $H^{(n,\rho)}$, де $\rho$ позначає середню кількість ненульових елементів у рядку. Вивчаються асимптотичні властивості спектральної норми $\|H^{(n,\rho_n)}\|$, коли $n$ прямує до нескінченності і $\rho_n=n^{2/3(1+\varepsilon)}$, $\varepsilon>0$. Основний результат полягає в тому, що ймовірність $\textbf{P}\{\|H^{(n,\rho_n)}\|>1+xn^{-2/3}\}$, $x>0$ обмежена для будь-якого $\varepsilon\in(\varepsilon_0,1/2]$, $\varepsilon_0>0$ величиною, яка залежить від конкретних значень кількох перших моментів $V_{2l}$, $2\leq l\leq 6$ і $V_{12+2\phi_0}$, $\phi_0=\phi(\varepsilon_0)$ елементів матриці $H^{(n,\rho)}$ за умов, що вони існують і що розподіл матричних елементів є симетричним. Доведення базується на вивченні оцінок зверху середніх моментів випадкових матриць з обрізаними величинами $\textbf{E}\{Tr(\widehat H^{(n,\rho_n)})^{2s_n}\}$, $s_n=\lfloor\chi n^{2/3}\rfloor$ з $\chi>0$, коли $n\to\infty$.
Розглянуто також оцінку знизу величин $\textbf{E}\{Tr(H^{(n,\rho_n)})^{2s_n}\}$. Показано, що у спеціальному асимптотичному режимі, коли $\rho_n=n^\epsilon$ при $\epsilon\in(0,2/3]$ та $n\to\infty$, четвертий момент $V_4$ має оцінку знизу, а змінна масштабування $n^{-2/3}$ на межі граничного спектру замінюється змінною, пов'язаною з $\rho_n^{-1}$.
Mathematics Subject Classification: 15B52.
Ключові слова:
випадкові матриці, ансамбль Вігнера, розріджені випадкові матриці, спектральна нормаПосилання
G.W. Anderson, A. Guionnet, and O. Zeitouni, An Introduction to Random Matrices. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 118. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
Z.D. Bai and Y.Q. Yin, Necessary and Sufficient Conditions for the Almost Sure Convergence of the Largest Eigenvalue of Wigner Matrices. — Ann. Probab. 16 (1988), 1729–1741. https://doi.org/10.1214/aop/1176991594
O.N. Feldheim and S. Sodin, A Universality Result for the Smallest Eigenvalues of Certain Sample Covariance Matrices. — Geom. Funct. Anal. 20 (2010), 88–123. https://doi.org/10.1007/s00039-010-0055-x
Z. Füredi and J. Komlós, The Eigenvalues of Random Symmetric Matrices. — Combinatorica 1 (1981), 233–241. https://doi.org/10.1007/BF02579329
S. Geman, A Limit Theorem for the Norm of Random Matrices. — Ann. Probab. 8 (1980), 252–261. https://doi.org/10.1214/aop/1176994775
V.L. Girko, Spectral Properties of Random Matrices. Nauka, Moscow, 1988. (Russian)
A. Khorunzhy, Sparse Random Matrices: Spectral Edge and Statistics of Rooted Trees. — Adv. Appl. Probab. 33 (2001), 124–140. https://doi.org/10.1239/aap/999187900
O. Khorunzhy, High Moments of Large Wigner Random Matrices and Asymptotic Properties of the Spectral Norm. — Random Oper. Stoch. Eq. 20 (2012), 25–68.
O. Khorunzhiy, On Correlation Function of High Moments of Wigner Random Matrices. Preprint arXiv:1011.3965
O. Khorunzhiy, B. Khoruzhenko, L. Pastur, and M. Shcherbina, The large-n Limit in Statistical Mechanics and the Spectral Theory of Disordered Systems. In: Phase Transitions and Critical Phenomena 15, 74–239, Academic Press, London, 1992.
O. Khorunzhy, W. Kirsch, and P. Müller, Lifshitz Tails for Spectra of Erdős-Rényi Random Graphs. — Ann. Appl. Probab. 16 (2006), 295–309. https://doi.org/10.1214/1050516000000719
O. Khorunzhy and J.-F. Marckert, Uniform Bounds for Exponential Moment of Maximum of a Dyck Path. — Electr. Commun. Probab. 14 (2009), 327–333.
O. Khorunzhy, M. Shcherbina, and V. Vengerovsky, Eigenvalue Distribution of Large Weighted Random Graphs. — J. Math. Phys. 45 (2004), 1648–1672. https://doi.org/10.1063/1.1667610
O. Khorunzhiy and V. Vengerovsky, Even Walks and Estimates of High Moments of Large Wigner Random Matrices. Preprint arXiv:0806.0157
V.A. Marchenko and L.A. Pastur, Distribution of Eigenvalues for Some Sets of Random Matrices. — Math. USSR Sb. 1 (1967), No. 4, 457–483.
M.L. Mehta, Random Matrices. Amsterdam: Elsevier/Academic Press, 2004.
A.D. Mirlin and Ya.V. Fyodorov, Universality of Level Correlation Function of Sparse Random Matrices. — J. Phys. A 24 (1991), 2273–2286. https://doi.org/10.1088/0305-4470/24/10/016
L. Pastur, On the Spectrum of Random Matrices. — Theor. Math. Phys. 10 (1972), 102–111. https://doi.org/10.1007/BF01035768
C. Porter (Ed.), Statistical Theories of Spectra: Fluctuations. Acad. Press, NewYork, 1965.
G.J. Rodgers and A.J. Bray, Density of States of a Sparse Random Matrix. — Phys. Rev. B 37 (1988), 3557–3562. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.37.3557
A. Ruzmaikina, Universality of the Edge Distribution of the Eigenvalues of Wigner Random Matrices with Polynomially Decaying Distributions of Entries. — Commun. Math. Phys. 261 (2006), 277–296. https://doi.org/10.1007/s00220-005-1386-6
Ya. Sinai and A. Soshnikov, Central LimitTtheorem for Traces of Large Symmetric Matrices with Independent Matrix Elements. — Bol. Soc. Brazil. Mat. 29 (1998), 1–24.
Ya. Sinai and A. Soshnikov, A Refinement of Wigner’s Semicircle Law in a Neighborhood of the Spectrum Edge for Random Symmetric Matrices. — Func. Anal. Appl. 32 (1998), 114–131. https://doi.org/10.1007/BF02482597
S. Sodin, The Tracy-Widom Law for Some Sparse Random Matrices. — J. Stat. Phys. 136 (2009), 834–841. https://doi.org/10.1007/s10955-009-9813-2
A. Soshnikov, Universality at the Edge of the Spectrum in Wigner Random Matrices. — Commun. Math. Phys. 207 (1999), 697–733. https://doi.org/10.1007/s002200050743
C.A. Tracy and H. Widom, Level Spacing Distribution and the Airy Kernel. — Commun. Math. Phys. 159 (1994), 151–174. https://doi.org/10.1007/BF02100489
E. Wigner, Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions.— Ann. Math. 62 (1955), 548–564. https://doi.org/10.2307/1970079
