Refinement of Isoperimetric Inequality of Minkowski with the Account of Singularities in Boundaries of Intrinsic Parallel Bodies

Анотація

Доведено наступні нерівності: $ S^n(A, B)\ge n^n \displaystyle\sum^{k-1}_{i=0} V(B_{A_i})(V^{n-1}(A_i)-V^{n-1}(A_{i+1}))+$ $S^n(A_{-T}(B), B), $
$S^n(A, B) \ge n^n \displaystyle\int_0^T g(t)df(t)+S^n(A_{-T}(B), B),$
$S^n(A, B)\ge n^n \displaystyle\int_0^q g(t)df(t)+S^n(A_{-q}(B), B),$ де $V(A)$, $V(B)$ — об’єми опуклих тіл $A$ і $B$ у $\mathbb{R}^n$ $(n\ge 2)$, $S(A, B)$ позначає площу поверхні тіла $A$ відносно тіла $B$, $q$ — коефіцієнт місткості тіла $B$ відносно тіла $A$, $A_i=A_{-t_i}(B) =A/(t_iB)$ — внутрішнє тіло, паралельне тілу $A$ відносно тіла $B$ на відстані $t_i$, $0 =t_0< t_1<\ldots < t_i<\ldots < t_{k-1}<t_k=T < q$, $B_{A_i}$ — тіло форми $A_i$ відносно $B$, $g(t) =V(B_{A_{-t}(B)})$, $f(t) =-V^{n-1}(A_{-t}(B))$, $\int_0^T g(t)df(t)$ — інтеграл Рімана–Стільтьєса від функції $g(t)$ відносно функції $f(t)$, та $\int_0^q g(t)df( t)=\lim_{T\to q}\int_0^T g(t)df(t)$.

Mathematics Subject Classification: 53B50.