Some Sharp Estimates for Convex Hypersurfaces of Pinched Normal Curvature
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag11.02.111Анотація
В просторах сталої кривини отримано точні оцінки для ширини $R-r$ сферичного шару з радіусами $R$ та $r$, в який можна помістити гіперповерхню $\partial D$, що обмежує опуклу область $D$, за умови, що нормальні кривини $\partial D$ затиснуті між двома додатними константами. У випадку евклідового простору також наведена точна оцінка для відношення $R/r$. 3а допомогою знайдених оцінок отримано результати щодо стійкості цілком омбілічних гіперповерхонь в просторах сталої кривини.
Mathematics Subject Classification: 53C40.
Ключові слова:
опукла гіперповерхня, простір сталої кривини, $\lambda$- опуклість, затиснута нормальна кривина, сферичний шар, стійкість, цілком омбілічна гіперповерхняПосилання
A. Borisenko and V. Miquel, Total Curvatures of Convex Hypersurfaces in Hyperbolic Space. — Illinois J. Math. 43 (1999), No. 1, 61–78.
A. Borisenko and V. Miquel, Comparison Theorems for Convex Hypersurfaces in Hadamard Manifolds. — Ann. Glob. Anal. Geom. 21 (2002), No. 2, 191–202.
A. Borisenko and K. Drach, Closeness to Spheres of Hypersurfaces with Normal Curvature Bounded Below. — Sb. Math. 204 (2013), No. 11, 1565–1583.
R. Schneider, Closed Convex Hypersurfaces with Curvature Restrictions. — Proc. Amer. Math. Soc. 103 (1988), No. 4, 1201–1204.
M. Gromov, Stability and Pinching. Seminari di Geometria, Ferri Ed., Bologna (1992), 55–99.
A.V. Pogorelov, Extrinsic Geometry of Convex Surfaces. Amer. Math. Soc., Providence, 1973.
K. Leichtweiss, Nearly Umbilical Ovaloids in the n-Space are Close to Spheres. — Res. Math. 36 (1999), 102–109. https://doi.org/10.1007/BF03322105
V.I. Diskant, Certain Estimates for Convex Surfaces with a Bounded Curvature Functions. — Sib. Math. J. 12 (1971), 109–125. https://doi.org/10.1007/BF00969720
J. Scheuer, Quantitative Oscillation Estimates for Almost-Umbilical Closed Hypersurfaces in Euclidean Space, arXiv:1404.2525 (2014).
R. Walter, Some Analytical Properties of Geodesically Convex Sets. — Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 45 (1976), 263–282. https://doi.org/10.1007/BF02992922
W. Blaschke, Kreis und Kugel. de Gruyter, Berlin, 1956.
H. Karcher, Umkreise und Inkreise konvexer Kurven in der Spharischen und der Hyperbolischen Geometrie. — Math. Ann. 177 (1968), 122–132. https://doi.org/10.1007/BF01350788
R. Howard, Blaschke’s Rolling Theorem for Manifolds with Boundary. — Manuscripta Math. 99 (1999), No. 4, 471–483.
A.D. Milka, On a Theorem of Schur and Schmidt. — Ukrain. Geom. Sb. 8 (1970), 95–102. (Russian)
A.A. Borisenko and K.D. Drach, Comparison Theorems for Support Functions ofHypersurfaces. — Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., Mat. Pryr. Tekh. Nauky (2015),No. 3, 11–16 (also available in CRM Preprint Series, No. 1186, 2014).
