Lagrange Stability of Semilinear Differential-Algebraic Equations and Application to Nonlinear Electrical Circuits
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag14.02.169Анотація
Проводиться дослiдження напiвлiнiйного диференцiально-алгебраїчного рiвняння (ДАР) з акцентом на стiйкiсть (нестiйкiсть) за Лагранжем. Отримано умови iснування та єдиностi глобальних розв'язкiв (розв'язок iснує на нескiнченному iнтервалi) задачi Кошi, а також умови обмеженостi глобальних розв'язкiв. Бiльш того, отриманi умови стiйкостi за Лагранжем напiвлiнiйного ДАР гарантують, що кожний його розв'язок є глобальним i обмеженим, та, на вiдмiну вiд теорем про стiйкiсть за Ляпуновим, дозволяють довести iснування та єдинiсть глобальних розв'язкiв незалежно вiд наявностi та кiлькостi точок рiвноваги. Також отримано умови iснування та єдиностi розв'язкiв зi скiнченним часом визначення (розв'язок iснує на скiнченному iнтервалi та є необмеженим, тобто нестiйким за Лагранжем) для задачi Кошi. Не використовуються обмеження типу глобальної умови Лiпшиця, що дозволяє ефективно використовувати результати роботи у практичних застосуваннях. В якостi застосування дослiджено математичну модель радiотехнiчного фiльтру з нелiнiйними елементами. Чисельний аналiз моделi пiдтверджує результати теоретичних дослiджень.
Mathematical Subject Classification: 34A09, 34D23, 65L07.
Ключові слова:
диференцiально-алгебраїчне рiвняння, стiйкiсть за Лагранжем, нестiйкiсть, регулярний жмуток, обмежений глобальний розв'язок, скiнченний час визначення, нелiнiйне електричне коло.Посилання
R. Andrzejewski and J. Awrejcewicz, Nonlinear Dynamics of a Wheeled Vehicle, Advances in Mechanics and Mathematics 10, Springer, New York, NY, 2005.
U.M. Ascher and L.R. Petzold, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia, PA, 1998. https://doi.org/10.1137/1.9781611971392
A. Bacciotti and L. Rosier, Liapunov and Lagrange Stability: Inverse Theorems for Discontinuous Systems, Mathematics of Control, Signals and Systems 11 (1998), 101–128. https://doi.org/10.1007/BF02741887
K.E. Brenan, S.L. Campbell, and L.R. Petzold, Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia, PA, 1996.
L. Dai, Singular Control Systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences, 118, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1989.
M.S. Filipkovska, Lagrange stability and numerical method for solving semilinear descriptor equations, Visn. Kharkiv. Nats. Univ. Mat. Model. Inform. Tekh. Avt. Syst. Upr. 26, No. 1156 (2015), 152–167 (Russian).
M. Filipkovskaya, Global solvability of singular semilinear differential equations and applications to nonlinear radio engineering, Challenges of Modern Technology 6 (2015), 3–13.
C.W. Gear and L.R. Petzold, ODE methods for the solution of differential/algebraic systems, SIAM J. Numer. Anal. 21 (1984), 716–728. https://doi.org/10.1137/0721048
P. Kunkel and V. Mehrmann, Differential-Algebraic Equations. Analysis and Numerical Solution, EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2006.
J. La Salle and S. Lefschetz, Stability by Liapunov’s Direct Method with Applications, Mathematics in Science and Engineering, 4, Academic Press, New YorkLondon, 1961.
R. Lamour, R. März and C. Tischendorf, Differential-Algebraic Equations: A Projector Based Analysis, Differential-Algebraic Equations Forum, Springer, Heidelberg, 2013.
R. März, Practical Lyapunov stability criteria for differential algebraic equations, Numerical Analysis and Mathematical Modelling, Banach Center Publ., 29, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 1994, 245–266.
R.E. O’Malley and L.V. Kalachev, Regularization of nonlinear differential-algebraic equations, SIAM J. Math. Anal. 25 (1994), 615–629. https://doi.org/10.1137/S0036141092226405
P.J. Rabier and W.C. Rheinboldt, Discontinuous solutions of semilinear differentialalgebraic equations. II. P -consistency, Nonlinear Anal. 27 (1996), 1257–1280. https://doi.org/10.1016/0362-546X(95)00111-8
T. Reis and T. Stykel, Lyapunov balancing for passivity-preserving model reduction of RC circuits, SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 10 (2011), 1–34. https://doi.org/10.1137/090779802
R. Riaza, Differential-Algebraic Systems. Analytical Aspects and Circuit Applications, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2008. https://doi.org/10.1142/6746
A.G. Rutkas, Cauchy problem for the equation Ax0 (t)+Bx(t) = f (t), Differ. Uravn. 11 (1975), 1996–2010 (Russian).
A.G. Rutkas and M.S. Filipkovska, Extension of solutions of one class of differentialalgebraic equations, Zh. Obchysl. Prykl. Mat. (2013), no. 2, 135–145 (Russian).
A.G. Rutkas and L.A. Vlasenko, Existence, uniqueness and continuous dependence for implicit semilinear functional differential equations, Nonlinear Anal. 55 (2003), 125–139. https://doi.org/10.1016/S0362-546X(03)00219-0
L. Schwartz, Analyse Mathématique, I, Hermann, Paris, 1967 (French).
A.A. Shcheglova and V.F. Chistyakov, Stability of linear differential-algebraic systems, Differ. Uravn. 40 (2004), 47–57; Engl. transl.: Differ. Equ. 40 (2004), 50–62.
C. Tischendorf, On the stability of solutions of autonomous index-1 tractable and quasilinear index-2 tractable DAEs, Circuits Systems Signal Process. 13 (1994), 139–154. https://doi.org/10.1007/BF01188102
L.A. Vlasenko, Evolution models with implicit and degenerate differential equations, Sistemnye Tekhnologii, Dniepropetrovsk, 2006 (Russian).
A. Wu and Z. Zeng, Lagrange stability of memristive neural networks with discrete and distributed delays, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. 25 (2014), 690–703. https://doi.org/10.1109/TNNLS.2013.2280458
