Translation-Invariant Gibbs Measures for the Blum-Kapel Model on a Cayley Tree
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.02.239Ключові слова:
дерево Кейлі, конфігурація, модель Блюма-Капеля, міра Гіббса, трансляційно-інваріантна міра, екстремальність міри.Анотація
У даній роботі розглянуто трансляційно-інваріантні міри Гіббса для моделі Блюма--Капеля на дереві Кейлі порядку $ k $. Знайдено таку приблизну критичну температуру $ T_ {cr} $, що для $T\geq T_{cr}$ існує єдина трансляційно-інваріантна міра Гіббса, а для $ 0 < T < T_ {cr} $ є рівно три трансляційно-інваріантні міри Гіббса. Крім того, вивчено проблему (не)екстремальності для унікальної міри Гіббса.Посилання
E.N. Cirillo and E. Olivieri, Metastabilty and nucleation for the Blume–Capel model. Different mechanisms of transition, J. Statist. Phys. 83 (1996), No. 3–4, 473–554. https://doi.org/10.1007/BF02183739
M. Formentin and C. Külske, A symmetric entropy bound on the non-reconstruction regime of Markov chains on Galton–Watson trees, Electron. Commun. Probab. 14 (2009), 587–596. https://doi.org/10.1214/ECP.v14-1516
N.N. Ganikhodzhaev and U.A. Rozikov, Description of periodic extreme Gibbs measures for some lattice models on the Cayley tree, Teoret. Mat. Fiz. 111(1) (1997), 109–117 (Russian); Engl. transl.: Theoret. and Math. Phys. 111 (1997), 480–486. https://doi.org/10.1007/BF02634202
H.-O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions, De Gruyter Studies in Mathematics, 9, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1988.
O. Hryniv and R. Kotecký, Surfase tension and the Orustein–Zernike behavior for the 2D Blume–Capel model, J. Statist. Phys. 106 (2002), 431–476. https://doi.org/10.1023/A:1013797920029
H. Kesten and B.P. Stigum, Additional limit theorem for indecomposable multidimensional Galton–Watson processes, Ann. Math. Statist. 37 (1966), 1463–1481. https://doi.org/10.1214/aoms/1177699139
N.M. Khatamov, New classes of ground states for the Potts model with random competing interactions on a Cayley tree, Teoret. Mat. Fiz. 180 (2014), 86–93 (Russian); Engl. transl.: Theoret. and Math. Phys. 180 (2014), 827–834. https://doi.org/10.1007/s11232-014-0182-x
N.M. Khatamov, Nonuniqueness of a Gibbs measure for the Ising ball model, Teoret. Mat. Fiz. 180 (2014), 318–328 (Russian); Engl. transl.: Theoret. and Math. Phys. 180 (2014), 1030–1039. https://doi.org/10.1007/s11232-014-0197-3
C. Külske and U.A. Rozikov, Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree, Random Structures and Algorithms 50 (2017), 636–678. https://doi.org/10.1002/rsa.20671
C. Külske, U.A. Rozikov, and R.M. Khakimov, Description of all translationinvariant splitting Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree, J. Stat. Phys. 156 (2014), 189–200. https://doi.org/10.1007/s10955-014-0986-y
F. Martinelli, A. Sinclair, and D. Weitz, Fast mixing for independent sets, coloring and other models on trees, Random Structures and Algoritms 31 (2007), 134–172. https://doi.org/10.1002/rsa.20132
V.V. Prasolov, Polynomials, Algorithms and Computation in Mathematics, 11, Springer-Verlag, Berlin, 2004. https://doi.org/10.1007/978-3-642-03980-5
C.J. Preston, Gibbs States on Countable Sets, Cambridge Tracts Math., No. 68, Cambridge Univ. Press, London-New York, 1974. https://doi.org/10.1017/CBO9780511897122
U.A. Rozikov, Gibbs Measures on Cayley Trees, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2013. https://doi.org/10.1142/8841
U.A. Rozikov and R.M. Khakimov, Gibbs measures for the fertile three-state hard core models on a Cayley tree, Queueing Syst. 81(1) (2015), 49–69. https://doi.org/10.1007/s11134-015-9450-1
Ya.G. Sinai, Theory of Phase Transitions: Rigorous Results, Nauka, Moscow (1980) (Russian); Engl. transl.: International Series in Natural Philosophy, 108, Pergamon Press, Oxford-Elmsford, N.Y., 1982.
P.E. Theodorakis and N.J. Fytas, Monte Carlo study of the triangular Blume–Capel model under bond randomness, Phys. Rev. E 86 (2012), 011140. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.86.011140
