Ricci Solitons and Gradient Ricci Solitons on N(k)-Paracontact Manifolds
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.03.307Анотація
$\eta$-ейнштейнівський параконтактний многовид $M$ допускає солітон Річчі $(g,\xi)$ тоді і тільки тоді, коли $M$ є $K$-параконтактним ейнштейнівським многовидом за умови, що одна з асоційованих скалярних величин $\alpha$ або $\beta$ є постійною. Ми також доводимо неможливість існування солітона Річчі на $N(k)$-параконтактному метричному многовиді $M$, потенціальне векторне поле якого є рібовським векторним полем $\xi$. Більш того, якщо метрика $g$ $N(k)$-параконтактного метричного многовиду $M^{2n+1}$ є градієнтним солітоном Річчі, то або многовид локально ізометричний добутку плоского $(n+1)$-вимірного многовида і $n$-вимірного многовида з постійною негативною кривиною $-4$, або $M^{2n+1}$ є ейнштейнівським многовидом. На додаток наведено ілюстративний приклад.Mathematics Subject Classification: 53B30, 53C15, 53C25, 53C50, 53D10, 53D15.
Ключові слова:
параконтактний многовид, N(k)-параконтактний многовид, солітон Річчі, градієнтний солітон Річчі, ейнштейнівський многовид.Посилання
C.L. Bejan and M. Crasmareanu, Second order parallel tensors and Ricci solitons in 3-dimensional normal paracontact geometry, Ann. Global Anal. Geom. 46 (2014), 117–127. https://doi.org/10.1007/s10455-014-9414-4
D.E. Blair, Contact Manifolds in Riemannian Geometry, Lecture Notes on Mathematics, 509, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976. https://doi.org/10.1007/BFb0079307
D.E. Blair, T. Koufogiorgos and B.J. Papantoniou, Contact metric manifolds satisfying a nullity condition, Israel J. Math. 91 (1995), 189–214. https://doi.org/10.1007/BF02761646
C. Calin and M. Crasmareanu, From the Eisenhart problem to Ricci solitons in f -Kenmotsu manifolds, Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 33 (2010), 361–368.
G. Calvaruso, Homogeneous paracontact metric three-manifolds, Illinois J. Math. 55 (2011), 697–718. https://doi.org/10.1215/ijm/1359762409
B. Cappelletti-Montano, I. Küpeli Erken and C. Murathan, Nullity conditions in paracontact geometry, Diff. Geom. Appl. 30 (2012), 665–693. https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2012.09.006
B. Cappelletti-Montano and L. Di Terlizzi, Geometric structures associated to a contact metric (k, µ)-space, Pacific J. Math. 246 (2010), 257–292. https://doi.org/10.2140/pjm.2010.246.257
J.T. Cho, Notes on contact Ricci solitons, Proc. Edinb. Math. Soc. 54 (2011), 47–53. https://doi.org/10.1017/S0013091509000571
J.T. Cho, Ricci solitons in almost contact geometry, Proc. Seventeenth Int. Workshop on Diff. Geom. 17 (2013), 85–95.
B. Chow and D. Knopf, The Ricci flow: An introduction, Mathematical surveys and Monographs, 110 Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004 https://doi.org/10.1090/surv/110
U.C. De and Y. Matsuyama, Ricci solitons and gradient Ricci solitons in a Kenmotsu manifold, Southeast Asian Bull. Math. 37 (2013), 691–697.
S. Deshmukh, Jacobi-type vector fields on Ricci solitons, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 55(103) (2012), 41–50.
S. Deshmukh, H. Alodan, and H. Al-Sodais, A note on Ricci solitons, Balkan J. Geom. Appl. 16 (2011), 48–55.
D. Friedan, Non linear models in 2 + dimensions, Ann. Phys. 163 (1985), 318–410. https://doi.org/10.1016/0003-4916(85)90384-7
A. Ghosh, An η-Einstein Kenmotsu metric as a Ricci soliton, Publ. Math. Debrecen 82 (2013), 591–598. https://doi.org/10.5486/PMD.2013.5344
R.S. Hamilton, The Ricci flow on surfaces, Mathematics and general relativity (Santa Cruz, CA, 1986), Contemp. Math., 71, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, 237–262. https://doi.org/10.1090/conm/071/954419
T. Ivey, Ricci solitons on compact 3-manifolds, Diff. Geom. Appl. 3 (1993), 301–307. https://doi.org/10.1016/0926-2245(93)90008-O
S. Kaneyuki and F.L. Williams, Almost paracontact and parahodge structures on manifolds, Nagoya Math. J. 99 (1985), 173–187. https://doi.org/10.1017/S0027763000021565
V. Martin-Molina, Paracontact metric manifolds without a contact metric counterpart, Taiwanese J. Math. 19 (2015), 175–191. https://doi.org/10.11650/tjm.19.2015.4447
V. Martin-Molina, Local classification and examples of an important class of paracontact metric manifolds, Filomat 29 (2015), 507–515. https://doi.org/10.2298/FIL1503507M
G. Nakova and S. Zamkovoy, Almost paracontact manifolds, preprint, https:// arxiv.org/abs/0806.3859v2.
G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, preprint, https://arxiv.org/abs//math/0211159.
D.G. Prakasha and K.K. Mirji, On φ-symmetric N (k)-paracontact metric manifolds, J. Math. 2015, Article ID 728298. https://doi.org/10.1155/2015/728298
R. Sharma, Certain results on K-contact and (k, µ)-contact manifolds, J. Geom. 89 (2008), 138–147. https://doi.org/10.1007/s00022-008-2004-5
M. Turan, U.C. De, and A. Yildiz, Ricci solitons and gradient Ricci solitons in three-dimensional trans-Sasakian manifolds, Filomat 26 (2012), 363–370. https://doi.org/10.2298/FIL1202363T
Y. Wang and X. Liu, Ricci solitons on three-dimensional η-Einstein almost Kenmotsu manifolds, Taiwanese J. Math. 19 (2015), 91–100. https://doi.org/10.11650/tjm.19.2015.3493
K. Yano, Integral Formulas in Riemannian Geometry, Marcel Dekker, New York, 1970.
A. Yildiz, U.C. De, and M. Turan, On 3-dimensional f -Kenmotsu manifolds and Ricci solitons, Ukrainian Math. J. 65 (2013), 684–693. https://doi.org/10.1007/s11253-013-0806-6
S. Zamkovoy, Canonical connections on paracontact manifolds, Ann. Global Anal. Geom. 36 (2009), 37–60. https://doi.org/10.1007/s10455-008-9147-3
S. Zamkovoy and V. Tzanov, Non-existence of flat paracontact metric structures in dimension greater than or equal to five, Annuaire Univ. Sofia Fac. Math. Inform. 100 (2011), 27–34.
