Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation in Banach and Locally Convex Spaces
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.03.336Анотація
Темою дослідження цієї роботи є неявні лінійні різницеві рівняння $Ax_{n+1}+Bx_n=g_n$ та $Ax_{n+1}=x_n-f_n$, $n=0,1,2,\ldots$, де $A$ та $B$ є неперервними операторами, які діють на деяких локально опуклих просторах. Одержано необхідні та достатні умови разом з явними формулами для розв'язків цих рівнянь. Як застосування загальної теорії, вивчено рівняння $Ax_{n+1}=x_n-f_n$ у просторі $\mathbb{R}^{\infty}$ фінітних послідовностей та у просторі $\mathbb{R}^M$, де $M$ - довільна множина.
Mathematics Subject Classification: 39A06.
Ключові слова:
різницеве рівняння, локально опуклий простір, банахів простір, локально нільпотентний оператор.Посилання
Y.A. Abramovich and C.D. Aliprantis, Problems in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, 51, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. https://doi.org/10.1090/gsm/051
A.G. Baskakov, On the invertibility of linear difference operators with constant coefficients, Russian Math. (Iz. VUZ) 45 (2001), No. 5, 1–9.
M. Benabdallakh, A.G. Rutkas, and A.A. Solov’ev, Application of asymptotic expansions to the investigation of an infinite system of equations Axn+1 + Bxn = fn in a Banach space, J. Soviet Math. 48 (1990), No. 2, 124–130.
C. Bessaga and A. Pelczyński, On a class of B0 -spaces, Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. III 5 (1957), 375–377.
M. Bondarenko and A. Rutkas, On a class of implicit difference equations, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki (1998), No. 7, 11–15.
N. Bourbaki, Éléments de mathématique. XVIII. Premiére partie: Les structures fondamentales de l’analyse. Livre V: Espaces vectoriels topologiques. Chapitre III: Espaces d’applications linéaires continues. Chapitre IV: La dualité dans les espaces vectoriels topologiques. Chapitre V: Espaces hilbertiens, Actualités Sci. Ind., No. 1229, Hermann & Cie, Paris, 1955 (French).
A.Ya. Dorogovtsev, Periodic and Stationary Regimes for Infinite-Dimensional Deterministic and Stochastic Dynamical Systems, Vyshcha Shkola, Kiev, 1992 (Russian).
R.E. Edwards, Functional Analysis. Theory and applications, Hort, Rinehart and Winston, New York-Toronto-London, 1965.
V.I. Fomin, Cramer operator vector rule for solution of system of linear vector equations in a Banach space, Vest. Tomsk. Gos. Univ. 7 (2002), No. 2, 237–238 (Russian).
S.L. Gefter and A.L. Piven, Implicit linear difference equation in Fréchet spaces, Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki (2017), No. 6, 3–8 (Russian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.06.003
I. Gohberg, S. Goldberg, and M.A. Kaashoek, Classes of Linear Operators, I, Operator Theory: Advances and Applications, 49, Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7509-7_5
J.W. Helton, Discrete time systems, operator models and scattering theory, J. Functional Analysis 16 (1974), No. 1, 15–38. https://doi.org/10.1016/0022-1236(74)90069-X
M.F. Gorodniı̆ and O.V. Vyatchaninov, On the boundedness of one recurrent sequence in a Banach space, Ukrainian Math. J. 61 (2009), No. 9, 1529–1532. https://doi.org/10.1007/s11253-010-0294-x
V.M. Kadets, A Course in Functional Analysis, V.N. Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2006 (Russian).
G. Köthe, Topological Vector Spaces, I, Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.
G. Köthe, Topological Vector Spaces, II, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1979. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9409-9
V. Müller, Spectral Theory of Linear Operators and Spectral Systems in Banach Algebras, Operator Theory: Advances and Applications, 139, Birkhäuser Verlag, Basel, 2007.
L. Narici and E. Beckenstein, Topological Vector Spaces, Pure and Applied Mathematics (Boca Raton), 296, CRC Press, Boca Raton, FL, 2011.
D.A. Raı̆kov, Closed Graph and Open Mapping Theorems. Appendix in Russian transl. of [20]: A.P. Robertson and W. J. Robertson, Topological Vector Spaces, Edited and appendices by D.A. Raı̆kov, Mir, Moscow, 1967, 223–237 (Russian).
A.P. Robertson, W. Robertson, Topological Vector Spaces, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 53, Cambridge University Press, New York, 1964.
H.H. Schaefer, Topological Vector Spaces, Graduate Texts in Mathematics, 3, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1971. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-9928-5
V.E. Slusarchuk, Stability of Solutions of Difference Equations in a Banach Space, Vyd-vo UDUVH, Rivne, 2003 (Ukrainian).
L.A. Vlasenko, Evolutionary Models with Implicit and Degenerate Differential Equations, Sistemnyie Technologii, Dnepropetrovsk, 2006 (Russian).
