Simple Morse Functions on an Oriented Surface with Boundary
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.03.354Анотація
У даній роботі розглядаються гладкі функції з невиродженими критичними точками на гладкій компактній орієнтованій поверхні з межею. Спочатку показано, що такі функції топологічно еквівалентні $m$-функціям. Для опису їх топологічної структури використовується оснащений граф Ріба. Потім автори характеризують топологічну структура всіх простих функцій з не більш ніж 5-ма критичними точками. Нарешті, виводиться формула для обчислення роду поверхні, яка базується на оснащеному графі Ріба.Mathematics Subject Classification: 57R45; 57R70.
Ключові слова:
топологічна класифікація, невироджена критична точка, оснащений граф Ріба.Посилання
A.V. Bolsinov and A.T. Fomenko, Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology and classification, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004.
M. Borodzik, A. Nemethi, and A. Ranicki, Morse theory for manifolds with boundary, Algebr. Geom. Topol. 16 (2016), 971–1023. https://doi.org/10.2140/agt.2016.16.971
B.I. Gladish and O.O. Prishlyak, Functions with nondegerated critical ponts on the boundary of the surface, Ukraı̈n. Mat. Zh. 68 2016, No. 1, 28–37 (Ukrainian); Engl. transl.: Ukrainian Math. J. 68 (2016), No. 1, 29–40 . https://doi.org/10.1007/s11253-016-1206-5
B.I. Hladysh and A.O. Prishlyak, Topology of functions with isolated critical points on the boundary of a 2-dimensional manifold, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 13 (2017), Paper No. 050, 17 pp. https://doi.org/10.3842/SIGMA.2017.050
I.A. Iurchuk, Properties of a pseudo-harmonic function on closed domain, Proc. Intern. Geom. Center 7 (2014), No. 4, 50–59.
A. Jankowski and R. Rubinsztein, Functions with non-degenerate critical points on manifolds with boundary, Comment. Math. Prace Mat. 16 (1972), 99–112.
A.An. Kadubovskyi, On the number of topologically non-equivalent functions with one degenerated saddle critical point on two-dimensional sphere II, Proc. Intern. Geom. Center 8 (2015), No. 1, 47–62 (Russian).
P.E. Konner and E.E. Floid, Differentiable Periodic Maps, Springer-Verlag, Berlin– Gottinberg–Heidelberg, 1964.
A.S. Kronrod, On functions of two variables, Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 5 (1950), No. 1(35), 24–134. (Russian).
S.I. Maksymenko Equivalence of m-functions on surfaces, Ukraı̈n. Mat. Zh. 51 (1999), No. 8, 1129–1135; Engl. transl.: Ukrainian Math. J. 51 (1999), No. 8, 1175–1281. https://doi.org/10.1007/BF02514460
M. Morse, The calculus of variations in the large, Colloquium Publications, 18, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1934. https://doi.org/10.1090/coll/018
A.O. Polulyakh, On conjugate pseudo-harmonic functions, Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine 2 (2009), No. 2, 505–517.
A.O. Prishlyak, Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a closed surface, Topology Appl. 119 (2002), No. 3, 257–267. https://doi.org/10.1016/S0166-8641(01)00077-3
A.O. Prishlyak, Topological properties of functions on two and three dimensional manifolds, Palmarium. Academic Publishing, Saarbrücken, 2012 (Russian).
A.O. Prishlyak, Topology of manifolds. Tutorial, Taras Shevchenko National University of Kyiv, Kyiv, 2013 (Ukrainian).
A.O. Prishlyak, K.I. Prishlyak, K.I. Mishchenko, and N.V. Lukova, Classification of simple m-functions onoriented surfaces, J. Numer. Appl. Math. 104 (2011), No. 1, 1–12 (Ukrainian).
G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique, C. R. Acad. Sci. Paris 222 (1946), 847–849 (French).
V.V. Sharko, Smooth and topological equivalence of functions on surfaces, Ukraı̈n. Mat. Zh. 55 (2003), No. 5, 687–700 (Russian); Engl. transl.: Ukrainian Math. J. 55 (2003), No. 5, 832–846. https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010259.21815.d7
A.H. Wallace, Differential topology: First steps, W.A. Benjamin, Inc., New YorkAmsterdam, 1968.
