Left Invariant Lifted (α, β)-metrics of Douglas Type on Tangent Lie Groups
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag17.02.201Анотація
У статті розглядаються підняті лівоінваріантні $(\alpha, \beta)$-метрики типу Дугласа на дотичних групах Лі. Припускається, що $g$ є лівоінваріантною рімановою метрикою на групі Лі $G$, а $F$ є лівоінваріантною $(\alpha, \beta)$-метрикою типу Дугласа, що індукована метрикою $g$. За допомогою вертикального і повного підняття ми будуємо вертикальні і повні підняті $(\alpha, \beta)$-метрики $F^v$ і $F^c$ на дотичному розшаруванні $TG$ і доводимо необхідні й достатні умови для того, щоб вони були метриками типу Дугласа. Також вивчаються флагові кривини цих метрик. Нарешті, в якості особливих випадків пораховані флагові кривини $F^v$ і $F^c$ для метрик Рандерса типу Дугласа та метрик Кропіної і Мацумото типу Бервальда.Mathematics Subject Classification: 53B21, 22E60, 22E15
Ключові слова:
лівоінваріантна $(\alpha,\beta)$-метрика, повне і вертикальне підняття, флагова кривинаПосилання
H. An and S. Deng, Invariant (α, β)-metrics on homogeneous manifolds, Monatsh. Math. 154 (2008), 89–102. https://doi.org/10.1007/s00605-007-0529-1
P.L. Antonelli, R.S. Ingarden, and M. Matsumoto, The Theory of Sprays and Finsler Spaces with Applications in Physics and Biology, Kluwer, Dordrecht, 1993. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8194-3
G.S. Asanov, Finsler Geometry, Relativity and Gauge Theories, D. Reidel, Dordrecht, 1985. https://doi.org/10.1007/978-94-009-5329-1
F. Asgari and H.R. Salimi Moghaddam, On the Riemannian geometry of tangent Lie groups, Rend. Circ. Mat. Palermo, Ser. 2 67 (2018), 185–195. https://doi.org/10.1007/s12215-017-0304-z
F. Asgari and H.R. Salimi Moghaddam, Riemannian geometry of two families of tangent Lie groups, Bull. Iran. Math. Soc. 44(1) (2018), 193–203. https://doi.org/10.1007/s41980-018-0014-0
F. Asgari and H.R. Salimi Moghaddam, Left invariant Randers metrics of Berwald type on tangent Lie groups, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 15 (2018), 1850015. https://doi.org/10.1142/S0219887818500159
S. Bacso and M. Matsumoto, On Finsler spaces of Douglas type. A generalization of the notion of Berwald space, Publ. Math. Debrecen 51 (1997), 385–406.
D. Bao, S.S. Chern, and Z. Shen, An Introduction to Riemann-Finsler Geometry, Springer, New York, 2000. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1268-3
S.S. Chern and Z. Shen, Riemanian-Finsler Geometry, World Scientific, Singapore, 2005. https://doi.org/10.1142/5263
S. Deng, Homogeneous Finsler Spaces, Springer, New York, 2012. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-4244-8
S. Deng, M. Hosseini, H. Liu, and H.R. Salimi Moghaddam, On the left invariant (α, β)-metrics on some Lie groups, Houston J. Math. 45 (2019), 1071–1088.
S. Deng and Z. Hou, Invariant Randers metrics on homogeneous Riemannian manifolds, J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004), 4353–4360. https://doi.org/10.1088/0305-4470/37/15/004
S. Deng and Z. Hu, On flag curvature of homogeneous Randers spaces, Canad. J. Math. 65 (2013), 66–81. https://doi.org/10.4153/CJM-2012-004-6
E. Esrafilian and H.R. Salimi Moghaddam, Flag curvature of invariant Randers metrics on homogeneous manifolds, J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006), 3319–3324. https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/13/011
J. Hilgert and K.H. Neeb, Structure and Geometry of Lie Groups, Springer, New York, 2012. https://doi.org/10.1007/978-0-387-84794-8
F.Y. Hindeleh, Tangent and cotangent bundles, automorphism groups and representations of Lie groups, Ph. D. thesis, University of Toledo, 2006.
R.S. Ingarden, On physical applications of Finsler geometry, Contemp. Math. 196 (1996), 213–223. https://doi.org/10.1090/conm/196/02450
L.D. Landau and E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Addison-Wesley, Reading, 1962.
H. Liu and S. Deng, Homogeneous (α, β)-metrics of Douglas type, Forum Math. 27 (2015), 3149–3165. https://doi.org/10.1515/forum-2014-0002
M. Matsumoto, On C-reducible Finsler spaces, Tensor (N. S.) 24 (1972), 29–37.
M. Matsumoto, A slope of a mountain is a Finsler surface with respect to a time measure, J. Math. Kyoto Univ. 29 (1989), 17–25. https://doi.org/10.1215/kjm/1250520303
M. Matsumoto, The Berwald connection of a Finsler space with an (α, β)- metric, Tensor (N. S.) 50 (1991), 18–21.
G. Randers, On an asymmetrical metric in the four-space of general relativity, Phys. Rev. 59 (1941), 195–199. https://doi.org/10.1103/PhysRev.59.195
H.R. Salimi Moghaddam, On the left invariant Randers and Matsumoto metrics of Berwald type on 3-dimensional Lie groups, Monash. Math. 177 (2015), 649–658. https://doi.org/10.1007/s00605-015-0782-z
H.R. Salimi Moghaddam, On the Randers metrics on two-step homogeneous nilmanifolds of dimension five, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8 (2011), 501–510. https://doi.org/10.1142/S0219887811005257
S. Sasaki, On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds, Tohoku Math. J. 10 (1958), 338–354. https://doi.org/10.2748/tmj/1178244668
K. Yano and S. Kobayashi, Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles I, J. Math. Soc. Japan 18 (1966), 194–210. https://doi.org/10.2969/jmsj/01830236
K. Yano and S. Kobayashi, Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles II, J. Math. Soc. Japan 18 (1966), 236–246. https://doi.org/10.2969/jmsj/01830236
K. Yano and S. Kobayashi, Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles III, J. Math. Soc. Japan 19 (1967), 486–488. https://doi.org/10.2969/jmsj/01920185
K. Yano and S. Ishihara, Tangent and Cotangent Bundles, Pure and Applied Mathematics, 16, Marcel Dekker, New York, N. Y., 1973.
