Implicit Linear Nonhomogeneous Difference
Equation over ℤ with a Random Right-Hand
Side
S.L. Gefter
V. N. Karazin Kharkiv National University, 4 Svobody Sq., Kharkiv, 61022, Ukraine
E-mail: gefter@karazin.ua
A.L. Piven'
V. N. Karazin Kharkiv National University, 4 Svobody Sq., Kharkiv, 61022, Ukraine
E-mail: aleksei.piven@karazin.ua
Received January 13, 2021, revised February 22, 2021.
Анотація
Нехай $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$ - послідовність незалежних цілозначних однаково розподілених випадкових величин, що визначені на ймовірнісному просторі $(\Omega,{\cal F},P)$.
Припускається, що ці величини мають невироджений розподіл. Нехай $a$ та $b$ - цілі числа, $b\not=0,\pm 1$ та $a$ не ділиться на $b$. Для кожного $\omega\in\Omega$ розглядається наступне неявне лінійне неоднорідне різницеве рівняння першого порядку: $bx_{n+1}+ax_{n}=f_n(\omega)$, $\ n=0,1,2,\ldots$. Доведено, що
ймовірність існування розв'язку в цілих числах цього неявного різницевого рівняння дорівнює нулю. Отже, при випадковому виборі цілих чисел $f_0,f_1,f_2,\ldots$ неявне різницеве рівняння $bx_{n+1}+ax_{n}=f_n$, $ n=0,1,2,\ldots$, не має розв'язків в цілих числах. Також доведено, що якщо $a$ та $b$ - взаємно прості числа, то
множина розв'язності цього рівняння є незліченою щільною множиною першої категорії у просторі всіх послідовностей цілих чисел.