Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії
2022, vol. 18, No 1, pp. 105-117   https://doi.org/10.15407/mag18.01.105     ( до змісту , назад )
https://doi.org/10.15407/mag18.01.105

Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation over ℤ with a Random Right-Hand Side

S.L. Gefter

V. N. Karazin Kharkiv National University, 4 Svobody Sq., Kharkiv, 61022, Ukraine
E-mail: gefter@karazin.ua

A.L. Piven'

V. N. Karazin Kharkiv National University, 4 Svobody Sq., Kharkiv, 61022, Ukraine
E-mail: aleksei.piven@karazin.ua

Received January 13, 2021, revised February 22, 2021.

Анотація

Нехай $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$ - послідовність незалежних цілозначних однаково розподілених випадкових величин, що визначені на ймовірнісному просторі $(\Omega,{\cal F},P)$. Припускається, що ці величини мають невироджений розподіл. Нехай $a$ та $b$ - цілі числа, $b\not=0,\pm 1$ та $a$ не ділиться на $b$. Для кожного $\omega\in\Omega$ розглядається наступне неявне лінійне неоднорідне різницеве рівняння першого порядку: $bx_{n+1}+ax_{n}=f_n(\omega)$, $\ n=0,1,2,\ldots$. Доведено, що ймовірність існування розв'язку в цілих числах цього неявного різницевого рівняння дорівнює нулю. Отже, при випадковому виборі цілих чисел $f_0,f_1,f_2,\ldots$ неявне різницеве рівняння $bx_{n+1}+ax_{n}=f_n$, $ n=0,1,2,\ldots$, не має розв'язків в цілих числах. Також доведено, що якщо $a$ та $b$ - взаємно прості числа, то множина розв'язності цього рівняння є незліченою щільною множиною першої категорії у просторі всіх послідовностей цілих чисел.

Mathematics Subject Classification 2010: 39A06, 39A10, 39A50
Ключові слова: різницеве рівняння, незалежні випадкові величини, множина розв'язності

Download 349948 byte View Contents