Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation over $\mathbb{Z}$ with a Random Right-Hand Side
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag18.01.105Анотація
Нехай $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$ - послідовність незалежних цілозначних однаково розподілених випадкових величин, що визначені на ймовірнісному просторі $(\Omega,{\cal F},P)$. Припускається, що ці величини мають невироджений розподіл. Нехай $a$ та $b$ - цілі числа, $b\not=0,\pm 1$ та $a$ не ділиться на $b$. Для кожного $\omega\in\Omega$ розглядається наступне неявне лінійне неоднорідне різницеве рівняння першого порядку: $bx_{n+1}+ax_{n}=f_n(\omega)$, $\ n=0,1,2,\ldots$. Доведено, що ймовірність існування розв'язку в цілих числах цього неявного різницевого рівняння дорівнює нулю. Отже, при випадковому виборі цілих чисел $f_0,f_1,f_2,\ldots$ неявне різницеве рівняння $bx_{n+1}+ax_{n}=f_n$, $ n=0,1,2,\ldots$, не має розв'язків в цілих числах. Також доведено, що якщо $a$ та $b$ - взаємно прості числа, то множина розв'язності цього рівняння є незліченою щільною множиною першої категорії у просторі всіх послідовностей цілих чисел.Mathematics Subject Classification: 39A06, 39A10, 39A50
Ключові слова:
різницеве рівняння, незалежні випадкові величини, множина розв'язностіПосилання
M. Arato, Linear Stochastic Systems with Constant Coefficients. A Statistical Approach, Springer-Verlag, New York, 1982.
V. N. Berestovskii and Yu. G. Nikonorov, Continued fractions, the group GL(2, Z) and Pisot numbers, Siberian Adv. Math. 17 (2007), No. 4, 268–290. https://doi.org/10.3103/S1055134407040025
R. Engelking, General Topology, Heldermann, Berlin, 1989.
S. Fomin and A. Zelevinsky, The Laurent phenomenon, Advances in Appl. Math. 28 (2002), 119–144. https://doi.org/10.1006/aama.2001.0770
S. Gefter and A. Goncharuk, Generalized backward shift operators on the ring Z[[x]], Cramer’s rule for infinite linear systems, and p-adic integers, Operator Theory: Advances and Applications, 268, 2018, 247–259. https://doi.org/10.1007/978-3-319-75996-8_13
S.L. Gefter, A.L. Piven, Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation in Banach and Locally Convex Spaces, Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom. 15 (2019), No.3, 336–353. https://doi.org/10.15407/mag15.03.336
V.A. Gerasimov, S.L. Gefter and A.B. Goncharuk, Application of the p-adic topology on Z to the problem of finding solutions in integers of an implicit linear difference equation, J. Math. Sci. 235 (2018), No.3, 256–261. https://doi.org/10.1007/s10958-018-4072-x
O. Kallenberg, Foundation of Modern Probability, Springer-Verlag, New York, 2002. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4015-8
K. Mahler, p-adic Numbers and Their Functions, Camprige University Press, 1981.
V.V. Martseniuk, S.L. Gefter and A.L. Piven’, Uniqueness criterion and Cramer’s rule for implicit higher order linear difference equations over Z, Progress on Difference Equations and Discrete Dynamical Systems (Eds. S. Baigent, M. Bohner, and S. Elaydi), 341, Springer, 2020, 311–325. https://doi.org/10.1007/978-3-030-60107-2_16
L.J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press, London and New York, 1969.
L. Pastur and A. Figotin, Spectra of Random and Almost-Periodic Operators, Springer–Verlag, New York, 1991. https://doi.org/10.1007/978-3-642-74346-7
