Factorization for the Full-Line Matrix Schrödinger Equation and a Unitary Transformation to the Half-Line Scattering
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag19.02.251Ключові слова:
матричнозначне рiвняння Шредiнгера на прямiй, факторизацiя даних розсiювання, матричнозначнi коефiцiєнти розсiювання, теорема Левiнсона, унiтарне перетворення до розсiювання на пiвпрямiйАнотація
Проаналiзовано матрицю розсiювання для матричного рiвняння Шредiнгера на прямiй, коли вiдповiдний матричнозначний потенцiал є самоспряженим, iнтегровним i має скiнченний першiй момент. Матричнозначний потенцiал розкрадено на скiнченну кiлькiсть фрагментiв i надано факторизацiйну формулу, яка зображує матричнозначнi коефiцiєнти розсiювання в термiнах матричнозначних коефiцiєнтiв для фрагментiв. Використовуючи цю факторизацiйну формулу, наведено деякi явнi приклади, якi iлюструють те, що, взагалi, лiвий i правий матричнозначнi коефiцiєнти проходження є нерiвними. Пов’язуючи вiдповiдним чином потенцiали на прямiй i пiвпрямiй, встановлено унiтарне перетворення мiж матричним оператором Шредiнгера на прямiй i матричним оператором Шредiнгера на пiвпрямiй з певною самоспряженою крайовою умовою. Використовуючи це унiтарне перетворення, встановлено спiввiдношення мiж об’єктами на прямiй i пiвпрямiй такими як розв’язки Йоста, фiзичнi розв’язки i матрицi розсiювання. Застосовуючи зв’язок мiж вiдповiдними матрицями розсiювання на прямiй i пiвпрямiй, доведено терему Левiнсона на прямiй i пов’язано її з теоремою Левiнсона на пiвпрямiй.
Mathematical Subject Classification 2020: 34L10, 34L25, 34L40, 47A40,
81U99
Посилання
Z.S. Agranovich and V.A. Marchenko, The inverse problem of scattering theory, Gordon and Breach, New York, 1963.
T. Aktosun, A factorization of the scattering matrix for the Schrödinger equation and for the wave equation in one dimension, J. Math. Phys. 33 (1992), 3865--3869. https://doi.org/10.1063/1.529883
T. Aktosun, Bound states and inverse scattering for the Schrödinger equation in one dimension, J. Math. Phys. 35 (1994), 6231--6236. https://doi.org/10.1063/1.530671
T. Aktosun, M. Klaus, and C. van der Mee, Factorization of the scattering matrix due to partitioning of potentials in one-dimensional Schrödinger type equations, J. Math. Phys. 37 (1996), 5897--5915. https://doi.org/10.1063/1.531754
T. Aktosun, M. Klaus, and C. van der Mee, Small-energy asymptotics of the scattering matrix for the matrix Schrödinger equation on the line, J. Math. Phys. 42 (2001), 4627--4652. https://doi.org/10.1063/1.1398059
T. Aktosun and R. Weder, Direct and inverse scattering for the matrix Schrödinger equation, Springer Nature, Switzerland, 2021. https://doi.org/10.1007/978-3-030-38431-9
E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw Hill, New York, 1955.
H. Dym, Linear algebra in action, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006.
V. Kostrykin and R. Schrader, Kirchhoff's rule for quantum wires, J. Phys. A 32 (1999), 596--630. https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/4/006
A. Laptev and T. Weidl, Sharp Lieb-Thirring inequalities in high dimensions, Acta Math. 184 (2000), 87--111. https://doi.org/10.1007/BF02392782
I.M. Alonso and E. Olmedilla, Trace identities in the inverse scattering transform method associated with matrix Schrödinger operators, J. Math. Phys. 23 (1982), 2116--2121. https://doi.org/10.1063/1.525265
E. Olmedilla, Inverse scattering transform for general matrix Schrödinger operators and the related sympletic structure, Inverse Probl. 1 (1985), 219--236. https://doi.org/10.1088/0266-5611/1/3/007
R. Weder, The $L^p$ boundedness of the wave operators for matrix Schrödinger equations, J. Spectr. Theory 12 (2022), 707--744. https://doi.org/10.4171/JST/417
