Inverse Scattering on the Half Line for the Matrix Schrödinger Equation
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag14.03.237Анотація
На пiвпрямiй розглянуто матричне рiвняння Шредiнгера iз загальною самоспряженою крайовою умовою в нулi, яка задається двома матрицями, що задовольняють певнi умови. Вважається, що матричний потенцiал є самоспряженим, iнтегровним та має скiнченний перший момент. Побудовано вiдповiдну множину даних розсiяння. Цю множину даних розсiювання характеризовано набором необхiдних i достатнiх умов, якi гарантують єдинiсть та взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж множиною даних розсiяння та множиною вхiдних даних, яка мiстить потенцiал та крайовi матрицi. Ця робота надає узагальнення з крайової умови Дiрiхле на загальну самоспряжену крайову умову для класичного результату Аграновича та Марченка.Mathematics Subject Classification: 34L25, 34L40, 81U05.
Ключові слова:
матричне рiвняння Шредингера, самоспряжена гранична умова, метод Марченка, матричний метод Марченка, матриця Йоста, матриця розсiяння, обернене розсiювання, характеризацiяПосилання
Z.S. Agranovich and V.A. Marchenko, The Inverse Problem of Scattering Theory, Gordon and Breach, New York, 1963.
T. Aktosun and M. Klaus, Chapter 2.2.4: Inverse theory: problem on the line, In: E. R. Pike and P. C. Sabatier (eds.), Scattering, Academic Press, London, 2001, 770–785.
T. Aktosun, M. Klaus, and C. van der Mee, Small-energy asymptotics for the Schrödinger equation on the line, J. Math. Phys. 17 (2001), 619–632.
T. Aktosun, M. Klaus, and R. Weder, Small-energy analysis for the self-adjoint matrix Schrödinger operator on the half line, J. Math. Phys. 52 (2011), 102101. https://doi.org/10.1063/1.3640029
T. Aktosun, M. Klaus, and R. Weder, Small-energy analysis for the self-adjoint matrix Schrödinger operator on the half line. II, J. Math. Phys. 55 (2014), 032103; arXiv: 1310.4809.
T. Aktosun, P. Sacks, and M. Unlu, Inverse problems for selfadjoint Schrödinger operators on the half line with compactly supported potentials, J. Math. Phys. 56 (2015), 022106; arXiv: 1409.5819.
T. Aktosun and R. Weder, Inverse spectral-scattering problem with two sets of discrete spectra for the radial Schrödinger equation, Inverse Problems 22 (2006), 89–114; arXiv: math-ph/0402019.
T. Aktosun and R. Weder, High-energy analysis and Levinson’s theorem for the self-adjoint matrix Schrödinger operator on the half line, J. Math. Phys. 54 (2013), 112108; arXiv: 1206.2986.
T. Aktosun and R. Weder, Inverse scattering for the matrix Schrödinger equation, preprint, 2018; arXiv: 1708.03837.
T. Aktosun and R. Weder, Direct and Inverse Scattering for the Matrix Schrödinger Equation, the monograph to be published by Springer-Verlag.
K. Chadan and P. C. Sabatier, Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, 2nd ed., Springer, New York, 1989. https://doi.org/10.1007/978-3-642-83317-5
P. Deift and E. Trubowitz, Inverse scattering on the line, Commun. Pure Appl. Math. 32 (1979), 121–251. https://doi.org/10.1002/cpa.3160320202
L.D. Faddeev, Properties of the S-matrix of the one-dimensional Schrödinger equation, Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2 65 (1967), 139–166.
M.S. Harmer, Inverse scattering for the matrix Schrödinger operator and Schrödinger operator on graphs with general self-adjoint boundary conditions, ANZIAM J. 44 (2002), 161–168. https://doi.org/10.1017/S1446181100008014
M.S. Harmer, The Matrix Schrödinger Operator and Schrödinger Operator on Graphs, Ph.D. thesis, University of Auckland, New Zealand, 2004.
M. Harmer, Inverse scattering on matrices with boundary conditions, J. Phys. A 38 (2005), 4875–4885. https://doi.org/10.1088/0305-4470/38/22/012
V. Kostrykin and R. Schrader, Kirchhoff’s rule for quantum wires, J. Phys. A 32 (1999), 595–630. https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/4/006
V. Kostrykin and R. Schrader, Kirchhoff’s rule for quantum wires. II: The inverse problem with possible applications to quantum computers, Fortschr. Phys. 48 (2000), 703–716. https://doi.org/10.1002/1521-3978(200008)48:8<703::AID-PROP703>3
B.M. Levitan, Inverse Sturm–Liouville Problems, VNU Science Press, Utrecht, 1987. https://doi.org/10.1515/9783110941937
V.A. Marchenko, Sturm–Liouville Operators and Applications, revised ed., Amer. Math. Soc. Chelsea Publ., Providence, R.I., 2011. https://doi.org/10.1090/chel/373
R.G. Newton and R. Jost, The construction of potentials from the S-matrix for systems of differential equations, Nuovo Cim. 1 (1955), 590–622. https://doi.org/10.1007/BF02855219
R. Weder, Scattering theory for the matrix Schrödinger operator on the half line with general boundary conditions, J. Math. Phys. 56 (2015), 092103; arXiv: 1505.01879.
R. Weder, Trace formulas for the matrix Schrödinger operator on the halfline with general boundary conditions, J. Math. Phys. 57 (2016), 112101; arXiv: 1603.09432.
R. Weder, The number of eigenvalues of the matrix Schrödinger operator on the half line with general boundary conditions, J. Math. Phys. 58 (2017), 102107; arXiv: 1705.03157.
