A Discrete Blaschke Theorem for Convex Polygons in 2-Dimensional Space Forms
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag20.02.195Анотація
Нехай $M$ є 2-вимірною площиною постійної кривини, $P$ є опуклим багатокутником в $M$. Для цих багатокутників дано визначення кривини $\kappa _i$ в вершинах $A_i$ i доведена дискретна теорема Бляшке: “якщо $P$ є опуклий багатокутник в $M$ з кривинами вершин $\kappa _i\ge \kappa _0 >0$, то радіус $R$ кола, описаного навколо $P$, задовольняє нерівність $\textrm{ta}_\lambda(R) \le \pi/(2\kappa _0)$, i рівність виконується тоді і лише тоді, коли багатокутник є 2-покритим сегментом”.
Mathematical Subject Classification 2020: 52A10, 52A55, 51M10, 53C22
Ключові слова:
теорема Бляшке, кривина вершини, радiус описаного кола, опуклий багатокутникПосилання
W. Blaschke, Kreis und Kugel. Chelsea Publishing Co., New York, 1949. x+169 pp. (Photo-offset reprint of the edition of 1916 [Veit, Leipzig]). https://doi.org/10.1515/9783112392348
A. A. Borisenko and K. D. Drach, Isoperimetric inequality for curves with curvature bounded below, Math. Notes 95 (2014), No. 5-6, 590--598. https://doi.org/10.1134/S0001434614050034
A. A. Borisenko, E. Gallego, and A. Reventós, Relation between area and volume for λ-convex sets in Hadamard manifolds, Differential Geom. Appl. 14 (2001), No.3, 267--280. https://doi.org/10.1016/S0926-2245(01)00045-6
A. A. Borisenko and V. Miquel, Comparison theorems on convex hypersurfaces in Hadamard manifolds, Ann. Global Anal. Geom. 21 (2002), No.2, 191--202.
V. Borrelli, F. Cazals, and Jean Marie Morvan; On the angular defect of triangulations and the pointwise approximation of curvatures, Computer Aided Geometric Design 20 (2003), 319--341. https://doi.org/10.1016/S0167-8396(03)00077-3
V. Borrelli and F. Orgeret, Error term in pontwise approximation of the curvature of a curve, Computer Aided Geometric Design 27 (2010) 538--550. https://doi.org/10.1016/j.cagd.2010.06.001
J. Brooks and J. B. Strantzen, Blaschke’s rolling theorem in $ℝ^n$, Mem. Amer. Math. Soc., 80, 1989. https://doi.org/10.1090/memo/0405
J. Cufí, A. Reventós, and Carlos J. Rodríguez, Curvature for Polygons, Amer. Math. Monthly 122 (2015), 332--337. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.122.04.332
J. A. Delgado, Blaschke's theorem for convex hypersurfaces, J. Differential Geometry 14 (1979), No. 4, 489--496. https://doi.org/10.4310/jdg/1214435233
K. Drach, Inradius estimates for convex domains in 2-dimensional Alexandrov spaces, Anal. Geom. Metr. Spaces 6 (2018), No. 1, 165--173. https://doi.org/10.1515/agms-2018-0009
K. Drach Inradius estimates for convex domains in 2-dimensional Alexandrov spaces, Anal. Geom. Metr. Spaces 6 (2018), No.1, 165--173. https://doi.org/10.1515/agms-2018-0009
E. Gallego and A. Reventós, Asymptotic behaviour of λ-convex sets in the hyperbolic plane, Geom. Dedicata 76 (1999), No. 3, 275--289.
R. Howard, Blaschke Rolling theorems for manifolds with boundary, Manuscripta Math. 99 (1999), 471--483. https://doi.org/10.1007/s002290050186
H. Karcher, Umkreise und Inkreise konvexer Kurven in der sphärischen und der hyperbolischen Geometrie, Math. Ann. 177 (1968), 122--132. https://doi.org/10.1007/BF01350788
A. D. Milka, A certain theorem of Schur-Schmidt, Ukrain. Geometr. Sb. (1970), No.8, 95--102 (Russian).
O. R. Musin, Curvature extrema and four-vertex theorems for polygons and polyhedra, J. Math. Sci. (N.Y.) 119 (2004), 268--277. https://doi.org/10.1023/B:JOTH.0000008769.58818.6d
J. Rauch, An inclusion theorem for ovaloids with comparable second fundamental forms, J. Differential Geom. 9 (1974), 501--505. https://doi.org/10.4310/jdg/1214432545
K. Sakakibara and Y. Miyatake, A fully discrete curve-shortening polygonal evolution law for moving boundary problems, J. Comput. Phys. 424 (2021), 109857, 22pp. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2020.109857
