Asymptotics of Rarefaction Wave Solution to the mKdV Equation

Анотація

Розглядається модифіковане рівняння Кортевега-де Вріза
$$
q_t + 6q^2q_x + q_{xxx}=0
$$
на прямій. Початкові дані є чистою сходинкою, тобто $q(x,0)=c_r$ для $x\geq 0$ та $q(x,0)=c_l$ для $x <0$, де $c_l>c_r>0$ довільні дійсні числа. Ціль статті – вивчення асимптотичної поведінки розв'язку початково-крайової задачі, коли $t\to-\infty$, тобто вивченння динаміки за великим часом хвилі розрідження. Використовуючи метод найскорішого спуску та так званий механізм $g$-функції, ми деформуємо вихідну осциляційну матрицю задачі Рімана-Гільберта в таку модельну матрицю, для якої задача Рімана-Гільберта розв'язується явно, і показуємо, що розв'язок початково-крайової задачі має різну асимптотичну поведінку в різних областях $xt$-площини. В областях $x<6c_l^2t$ і $x>6c_r^2t$ головні члени асимптотики розв'язку дорівнюють $c_l$ та $c_r$, відповідно. В області $6c_l^2t<x< 6c_r^2t$ асимптотика розв'язку прямує до $\sqrt{\frac{x}{6t}}$.

Mathematics Subject Classification: 35Q15,35B40.