Step-Initial Function to the MKdV Equation: Hyper-Elliptic Long-Time Asymptotics of the Solution

Автор(и)

  • V. Kotlyarov B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine
  • A. Minakov B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine

Анотація

Розглянуто модифіковане рівняння КдФ на всій осі з початковими даними типу сходинки, тобто, $q(x,0)=c_r$ при $x\ge 0$ і $q(x,0)=c_l$ при $x<0$, де $c_l$, $c_r$ – дійсні числа такі, що $c_l>c_r>0$. Ціль статті – дослідження асимптотичної поведінки розв'язку початково-крайової задачі, коли $t\to \infty$. Використовуючи метод найшвидшого спуску, ми деформуємо вихідну матричну задачу Рімана-Гільберта до точно розв'язних модельних задач і доводимо, що розв'язок початково-крайової задачі має різну асимптотичну поведінку у різних областях $xt$-площини. В областях  $x<-6c_l^2t+12c_r^2t$ і $x>4c^2_lt+2c^2_rt$  головні члени асимптотики розв'язку дорівнюють $c_l$ і$c_r$ відповідно. В області $(-6c_l^2+12c_r^2)t<x<(4c^2_l+2c^2_r)t$ tасимптотика розв'язку приймає вигляд модульованої гіпереліптичної хвилі, що генерується алгебраїчною кривою роду $2$.

Mathematics Subject Classification: 35Q15,35B40.

Ключові слова:

модифіковане рівняння Кортевега-де Фриза, початкові дані типу сходинки, задача Рімана-Гільберта, метод найшвидшого спуску, модульована гіпереліптична хвиля

Downloads

Як цитувати

(1)
Kotlyarov, V.; Minakov, A. Step-Initial Function to the MKdV Equation: Hyper-Elliptic Long-Time Asymptotics of the Solution. Журн. мат. фіз. анал. геом. 2012, 8, 38-62.

Номер

Розділ

Статті

Завантаження

Дані завантаження ще не доступні.