Step-Initial Function to the MKdV Equation: Hyper-Elliptic Long-Time Asymptotics of the Solution

Анотація

Розглянуто модифіковане рівняння КдФ на всій осі з початковими даними типу сходинки, тобто, $q(x,0)=c_r$ при $x\ge 0$ і $q(x,0)=c_l$ при $x<0$, де $c_l$, $c_r$ – дійсні числа такі, що $c_l>c_r>0$. Ціль статті – дослідження асимптотичної поведінки розв'язку початково-крайової задачі, коли $t\to \infty$. Використовуючи метод найшвидшого спуску, ми деформуємо вихідну матричну задачу Рімана-Гільберта до точно розв'язних модельних задач і доводимо, що розв'язок початково-крайової задачі має різну асимптотичну поведінку у різних областях $xt$-площини. В областях  $x<-6c_l^2t+12c_r^2t$ і $x>4c^2_lt+2c^2_rt$  головні члени асимптотики розв'язку дорівнюють $c_l$ і$c_r$ відповідно. В області $(-6c_l^2+12c_r^2)t<x<(4c^2_l+2c^2_r)t$ tасимптотика розв'язку приймає вигляд модульованої гіпереліптичної хвилі, що генерується алгебраїчною кривою роду $2$.

Mathematics Subject Classification: 35Q15,35B40.