Construction of KdV Flow I. τ-Function via Weyl Function
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag14.03.297Анотація
Для опису розв'язкiв широкого класу цiлком iнтегровних диференцiальних операторiв Сато запровадив $\tau$-функцiю. Пiзнiше Сегал та Вiлсон зобразили її в термiнах вiдповiдних iнтегральних операторiв на просторi Хардi на одиничному диску. У цiй роботi дано iнше подання $\tau$-функцiї через функцiї Вейля для одновимiрних операторiв Шредiнгера з дiйсними потенцiалами, яке дає можливiсть розширити клас початкових даних рiвняння КдФ до бiльш загального класу.Mathematics Subject Classification: 35Q53, 37K10, 35B15
Ключові слова:
рiвняння КдФ, теорiя Сато, оператор Шредiнгера.Посилання
E. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw–Hill Book Company, Inc., New York–Toronto–London, 1955.
C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, and R.M. Miura, A method for solving the Korteweg–de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19 (1967), 1095–1097. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.19.1095
F. Gesztesy, W. Karwowski, and Z. Zhao, Limits of soliton solutions, Duke Math. J. 68 (1992), 101–150. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-92-06805-0
R. Hirota, Exact solution of the Korteweg–de Vries equation for multiple collisions of solitons, Phys. Rev. Lett. 27 (1971), 1192. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.27.1192
R. Johnson, On the Sato–Segal–Wilson solutions of the KdV equation, Pacific J. Math. 132 (1988), 343–355. https://doi.org/10.2140/pjm.1988.132.343
R. Johnson and J. Moser, The rotation number for almost periodic potentials, Comm. Math. Phys. 84 (1982), 403–438. https://doi.org/10.1007/BF01208484
S. Kotani, KdV flow on generalized reflectionless potentials, Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom. 4 (2008), 490–528.
P. Lax, Integrals of non-linear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968), 467–490. https://doi.org/10.1002/cpa.3160210503
D.Sh. Lundina, Compactness of the set of reflectionless potentials, Teor. Funktsiı̆ Funktsional. Anal. i Prilozhen. 44 (1985), 55–66 (Russian); Engl. thransl.: J. Soviet Math. 48 (1990), 290–297. https://doi.org/10.1007/BF01101248
V.A. Marchenko, Sturm–Liouville Operators and Applications, Revised Edition, AMS Chelsea Publ., Providence, RI, 2011. https://doi.org/10.1090/chel/373
V.A. Marchenko, The Cauchy problem for the KdV equation with non-decreasing initial data, Springer Series in Nonlinear Dynamics, What is Integrability? Ed. by V.E. Zakharov, Springer Ser. Nonlinear Dynam., Springer, Berlin, 273–318.
J. Moser, Integrable Hamiltonian Systems and Spectral Theory, Lezioni Fermiane, Scuola Normale Superiore, Pisa, 1983.
M. Sato, Soliton equations as dynamical systems on an infinite dimensional grassmann manifolds, Suriken Koukyuroku 439 (1981), 30–46. Available from: http://hdl.handle.net/2433/102800.
G. Segal and G. Wilson, Loop groups and equations of KdV type, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1985), No. 61, 5–65. https://doi.org/10.1007/BF02698802
