The Discrete Self-Adjoint Dirac Systems of General Type: Explicit Solutions of Direct and Inverse Problems, Asymptotics of Verblunsky-Type Coefficients and the Stability of Solving of the Inverse Problem
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag14.04.532Анотація
Розглянуто дискретні самоспряжені системи Дірака, визначені потенціалами (послідовностями) $\{C_k\}$ так, що матриці $C_k$ є позитивно-визначеними та $j$-унітарними, де $j$ – це діагональна матриця розміру $m\times m$, що має на головній діагоналі $m_1$ та $m_2$ елементів, які дорівнюють відповідно $1$ та $-1$ ($m_1+m_2=m$). У роботі побудовано системи з раціональними функціями Вейля та точно розв'язано обернену задачу відновлення системи за стискуючими раціональними функціями Вейля. Крім цього, у роботі досліджується стійкість цієї процедури. Матриці $C_k$ (з потенціалів) – це так звані розширення Халмоша коефіцієнтів $\rho_k$ типу Верблюнського. У роботі доведено, що у випадку стискальної раціональної функції Вейля коефіцієнти $\rho_k$ прямують до нуля, а матриці $C_k$ прямують до одиничної матриці $I_m$.
Mathematics Subject Classification: 34B20, 39A12, 39A30, 47A57
Ключові слова:
дискретна самоспряжена система Дірака, функція Вейля, обернена задача, явний розв'язок, стійкість розв'язання оберненої задачі, асимптотики потенціалу, коефіцієнт типу ВерблюнськогоПосилання
J.L. Cieslinski, Algebraic construction of the Darboux matrix revisited, J. Phys. A 42 (2009), 404003. https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/40/404003
P.A. Deift, Applications of a commutation formula, Duke Math. J. 45 (1978), 267– 310. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-78-04516-7
V.K. Dubovoj, B. Fritzsche, and B. Kirstein, Matricial Version of the Classical Schur Problem, Teubner-Texte zur Mathematik, 129, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft mbH, Stuttgart, 1992.
B. Fritzsche, B. Kirstein, I.Ya. Roitberg, and A.L. Sakhnovich, Weyl matrix functions and inverse problems for discrete Dirac type self-adjoint system: explicit and general solutions, Oper. Matrices 2 (2008), 201–231. https://doi.org/10.7153/oam-02-14
B. Fritzsche, B. Kirstein, I.Ya. Roitberg, and A.L. Sakhnovich, Discrete Dirac system: rectangular Weyl, functions, direct and inverse problems, Oper. Matrices 8 (2014), 799–819. https://doi.org/10.7153/oam-08-45
B. Fritzsche, B. Kirstein, I.Ya. Roitberg, and A.L. Sakhnovich, Stability of the procedure of explicit recovery of skew-selfadjoint Dirac systems from rational Weyl matrix functions, Linear Algebra Appl. 533 (2017), 428–450. https://doi.org/10.1016/j.laa.2017.07.034
F. Gesztesy and G. Teschl, On the double commutation method, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1831–1840. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-96-03299-6
C. Gu, H. Hu, and Z. Zhou, Darboux Transformations in Integrable Systems, Springer, Dordrecht, 2005. https://doi.org/10.1007/1-4020-3088-6
M.A. Kaashoek and A.L. Sakhnovich, Discrete pseudo-canonical system and isotropic Heisenberg magnet, J. Funct. Anal. 228 (2005), 207–233. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2004.10.022
R.E. Kalman, P. Falb, and M. Arbib, Topics in Mathematical System Theory, McGraw-Hill Book Company, New York, 1969.
A. Kostenko, A. Sakhnovich, and G. Teschl, Commutation methods for Schrödinger operators with strongly singular potentials, Math. Nachr. 285 (2012), 392–410. https://doi.org/10.1002/mana.201000108
P. Lancaster and L. Rodman, Algebraic Riccati Equations, Clarendon Press, Oxford, 1995.
V.A. Marchenko, Stability of the inverse problem of scattering theory, Mat. Sb. (N.S.) 77(119) (1968), 139–162.
V.A. Marchenko, Nonlinear Equations and Operator Algebras, D. Reidel, Dordrecht, 1988. https://doi.org/10.1007/978-94-009-2887-9
V.B. Matveev and M.A. Salle, Darboux Transformations and Solitons, Springer, Berlin, 1991. https://doi.org/10.1007/978-3-662-00922-2
A.C.M. Ran and L. Rodman, Stability of invariant maximal semidefinite subspaces, II: Applications: selfadjoint rational matrix functions, algebraic Riccati equations, Linear Algebra Appl. 63 (1984), 133–173. https://doi.org/10.1016/0024-3795(84)90140-X
A.L. Sakhnovich, Dressing procedure for solutions of nonlinear equations and the method of operator identities, Inverse Problems 10 (1994), 699–710. https://doi.org/10.1088/0266-5611/10/3/013
L.A. Sakhnovich, Spectral Theory of Canonical Differential Systems, Method of Operator Identities, Operator Theory Adv. Appl., 107, Birkhäuser, Basel, 1999.
A.L. Sakhnovich, Inverse problems for self-adjoint Dirac systems: explicit solutions and stability of the procedure, Oper. Matrices 10 (2016), 997–1008.
A.L. Sakhnovich, Verblunsky-type coefficients for Dirac and canonical systems generated by Toeplitz and Hankel matrices, respectively, J. Approx. Theory 237 (2019), 186–209. https://doi.org/10.1016/j.jat.2018.09.008
A.L. Sakhnovich, L.A. Sakhnovich, and I.Ya. Roitberg, Inverse Problems and Nonlinear Evolution Equations. Solutions, Darboux Matrices and Weyl–Titchmarsh Functions, De Gruyter Studies in Mathematics 47, De Gruyter, Berlin, 2013.
L.A. Sakhnovich, On the factorization of the transfer matrix function, Sov. Math. Dokl. 17 (1976), 203–207.
