Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case)
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag14.03.362Анотація
Ця стаття є продовженням роботи [15], де було поставлено задачу про аналог теореми Сеге для ергодичних операторiв загального вигляду та розглянуто декiлька цiкавих випадкiв. У данiй статтi ми розповсюджуємо результати [15] на ширший клас тестових функцiй та символiв, що задають формули типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом. Ми доводимо, що в цьому випадку член, що по порядку є наступним пiсля головного у формулi Сеге, вiдповiдає центральнiй граничнiй теоремi у спектральному контекстi, тобто є пропорцiйним $L^{1/2}$, де $L$ є довжиною iнтервалу, на якому ми розглядаємо оператор Шредiнгера. Цей результат слiд порiвняти з класичною формулою Сеге, де вiдповiдний член є обмеженим за $L$, коли $L \to \infty$. Ми доводимо аналог стандартної центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть ймовiрностi вiдповiдних подiй до гауссiвського закону), а також аналог майже напевно центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 логарифмiчного середнього iндикатора вiдповiдної подiї до гауссiвського закону). Як iлюстрацiю нашого загального методу ми надаємо асимптотичну формулу для "заплутаної" ентропiї вiльних фермiонiв при ненульовiй температурi.
Mathematics Subject Classification: 47H10, 60F05, 60F15.
Ключові слова:
випадковi оператори, асимптотичнi формули слiду, граничнi теоремиПосилання
H. Abdul-Rahman and G. Stolz, A uniform area law for the entanglement of eigenstates in the disordered XY chain, J. Math. Phys. 56 (2015), 121901. https://doi.org/10.1063/1.4938573
M. Aizenman and S. Warzel, Random Operators: Disorder Effects on Quantum Spectra and Dynamics, Amer. Math. Soc., Providence, 2015. https://doi.org/10.1090/gsm/168
F. Ares, J.G. Esteve, F. Falceto, and E. Sanchez-Burillo, Excited state entanglement in homogeneous fermionic chains, J. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014), 245301. https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/24/245301
I. Berkes, Results and Problems Related to the Pointwise Central Limit Theorem, Asymptotic Results in Probability and Statistics, Ed. B. Szyszkowicz, Elsevier, Amsterdam, 1998, 59–96.
N.H. Bingham, Szegö’s theorem and its probabilistic descendants, Probability Surveys 9 (2012), 287–324. https://doi.org/10.1214/11-PS178
A. Böttcher and B. Silbermann, Analysis of Toeplitz Operators, Springer-Verlag, Berlin, 1990.
J.-R. Chazottes and S. Gouëzel, On almost-sure versions of classical limit theorems for dynamical systems, Probab. Theory Relat. Fields 138 (2007), 195–234. https://doi.org/10.1007/s00440-006-0021-6
P. Deift, A. Its, and I. Krasovsky, Toeplitz matrices and Toeplitz determinants under the impetus of the Ising model: some history and some recent results, Comm. Pure Appl. Math. 66 (2013), 1360–1438. https://doi.org/10.1002/cpa.21467
M. Denker, Tercentennial anniversary of Bernoulli’s law of large numbers, Bull. AMS 50 (2013), 373–390. https://doi.org/10.1090/S0273-0979-2013-01411-3
J. Eisert, M. Cramer, and M.B. Plenio, Area laws for the entanglement entropy, Rev. Mod. Phys. 82 (2010), 277. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.82.277
A. Elgart, L. Pastur, and M. Shcherbina, Large block properties of the entanglement entropy of free disordered Fermions, J. Stat. Phys. 166 (2017), 1092–1127. https://doi.org/10.1007/s10955-016-1656-z
U. Grenander and G. Szegö, Töplitz Forms and Their Applications, University of California Press, 1958.
I.A. Ibragimov and M.A. Lifshitz, On almost sure limit theorems, Theory Probab. Appl. 44 (2000), 254–272. https://doi.org/10.1137/S0040585X97977562
I.A. Ibragimov and Yu.V. Linnik, Independent and Stationary Sequences of Random Variables, Wolters-Noordhoff Publishing, Groningen, 1971.
W. Kirsch and L.A. Pastur, On the analogues of Szegö’s theorem for ergodic operators, Sbornik: Mathematics 206:1 (2015), 93–119. https://doi.org/10.1070/SM2015v206n01ABEH004448
M. Lacey and W. Philipp, A note on the almost everywhere central limit theorem, Statist. Probab. Lett. 9 (1990), 201–205. https://doi.org/10.1016/0167-7152(90)90056-D
A. Laptev and Yu. Safarov, Szegö type limit theorems, J. Funct. Anal. 138 (1996), 544–559. https://doi.org/10.1006/jfan.1996.0075
H. Leschke, A. Sobolev, and W. Spitzer, Scaling of Rényi entanglement entropies of the free Fermi-gas ground state: a rigorous proof, Phys. Rev. Lett. 112 (2014), 160403. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.112.160403
L. Pastur and A. Figotin, Springer, Berlin, 1992. https://doi.org/10.1007/978-3-642-74346-7
L. Pastur and M. Shcherbina, Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices, AMS, Providence, 2011. https://doi.org/10.1090/surv/171
L. Pastur and V. Slavin, Area law scaling for the entropy of disordered quasifree fermions, Phys. Rev. Lett. 113 (2014), 150404. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.113.150404
L. Pastur and V. Slavin, The absence of the selfaveraging property of the entanglement entropy of disordered free Fermions in one dimension, J. Stat. Phys. 170 (2018), 207–220. https://doi.org/10.1007/s10955-017-1929-1
M. Peligrad and Q.M. Shao, A note on the almost sure central limit theorem for weakly dependent random variables, Stat. Probab. Lett. 22 (1995), 131–136. https://doi.org/10.1016/0167-7152(94)00059-H
B. Pfirsch and A.V. Sobolev, Formulas of Szegö type for the periodic Schrödinger operator, Commun. Math. Phys. 358 (2018), 675–704. https://doi.org/10.1007/s00220-018-3106-z
A.Ya. Reznikova, The Central Limit Theorem for the spectrum of random Jacobi matrices, Theory Probab. Appl. 25 (1981), 504–513. https://doi.org/10.1137/1125062
B. Simon, Szegö’s Theorem and its Descendants. Spectral Theory for L2 Perturbations of Orthogonal Polynomials. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2011.
A.V. Sobolev, Pseudodifferential Operators with Discontinuous Symbols: Widoms Conjecture, Memoirs of the AMS 222, No. 1043, Amer. Math. Soc., Providence, 2013.
H. Widom, On a Class of Integral Operators with Discontinuous Symbol, Oper. Theory: Adv. Appl. 4, Birkhauser, Basel, 1982, 477–500.
H. Widom, Szegö expansions for operators with smooth or nonsmooth symbol, Operator Theory: Operator Algebras and Applications, Part 1. Pure Math., 51, AMS, Providence, 1990.
